Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1872 / 1370
↖ ↑ ↗
← N 75.909504°
W 97.734375°		 ← 1 189.64 m → N 75.909504°
W 97.690430°		 →
↑
1 190.10 m
↓
↑
1 190.10 m
↓
N 75.898801°
W 97.734375°		 ← 1 190.52 m →
1 416 317 m²		 N 75.898801°
W 97.690430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22857666015625 y=0.16729736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22857666015625 × 213)
    floor (0.22857666015625 × 8192)
    floor (1872.5)     		tx = 1872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16729736328125 × 213)
    floor (0.16729736328125 × 8192)
    floor (1370.5)     		ty = 1370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1872 / 1370 ti = "13/1872/1370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1872/1370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1872 ÷ 213
    1872 ÷ 8192     		x = 0.228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1370 ÷ 213
    1370 ÷ 8192     		y = 0.167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228515625 × 2 - 1) × π
    -0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167236328125 × 2 - 1) × π
    0.66552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09081581382837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70578664} λ = -1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09081581382837))-π/2
    2×atan(8.09151364109563)-π/2
    2×1.44783355262844-π/2
    2.89566710525688-1.57079632675     		φ = 1.32487078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32487078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.909504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1872 KachelY 1370 -1.70578664 1.32487078 -97.734375 75.909504
    Oben rechts KachelX + 1 1873 KachelY 1370 -1.70501965 1.32487078 -97.690430 75.909504
    Unten links KachelX 1872 KachelY + 1 1371 -1.70578664 1.32468398 -97.734375 75.898801
    Unten rechts KachelX + 1 1873 KachelY + 1 1371 -1.70501965 1.32468398 -97.690430 75.898801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32487078-1.32468398) × R
    0.00018679999999982 × 6371000     		dl = 1190.10279999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32487078-1.32468398) × R
    0.00018679999999982 × 6371000     		dr = 1190.10279999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70578664--1.70501965) × cos(1.32487078) × R
    0.000766989999999801 × 0.243454128260775 × 6371000     		do = 1189.63696416877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70578664--1.70501965) × cos(1.32468398) × R
    0.000766989999999801 × 0.243635303650756 × 6371000     		du = 1190.52227649622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32487078)-sin(1.32468398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243454128260775-0.243635303650756)×R²
    abs(-1.70501965--1.70578664)×0.000181175389980692×R²
    0.000766989999999801×0.000181175389980692×6371000²
    0.000766989999999801×0.000181175389980692×40589641000000     		ar = 1416317.09249686m²