Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18718 / 13524
↖ ↑ ↗
← N 29.954935°
E 25.642090°		 ← 1 058.45 m → N 29.954935°
E 25.653076°		 →
↑
1 058.54 m
↓
↑
1 058.54 m
↓
N 29.945415°
E 25.642090°		 ← 1 058.55 m →
1 120 468 m²		 N 29.945415°
E 25.653076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571243286132812 y=0.412734985351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571243286132812 × 215)
    floor (0.571243286132812 × 32768)
    floor (18718.5)     		tx = 18718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412734985351562 × 215)
    floor (0.412734985351562 × 32768)
    floor (13524.5)     		ty = 13524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18718 / 13524 ti = "15/18718/13524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18718/13524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18718 ÷ 215
    18718 ÷ 32768     		x = 0.57122802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13524 ÷ 215
    13524 ÷ 32768     		y = 0.4127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57122802734375 × 2 - 1) × π
    0.1424560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44753889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4127197265625 × 2 - 1) × π
    0.174560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.548398131653442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44753889} λ = 0.44753889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.548398131653442))-π/2
    2×atan(1.73047879728279)-π/2
    2×1.04680428094611-π/2
    2.09360856189222-1.57079632675     		φ = 0.52281224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44753889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.642090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52281224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.954935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18718 KachelY 13524 0.44753889 0.52281224 25.642090 29.954935
    Oben rechts KachelX + 1 18719 KachelY 13524 0.44773064 0.52281224 25.653076 29.954935
    Unten links KachelX 18718 KachelY + 1 13525 0.44753889 0.52264609 25.642090 29.945415
    Unten rechts KachelX + 1 18719 KachelY + 1 13525 0.44773064 0.52264609 25.653076 29.945415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52281224-0.52264609) × R
    0.000166150000000087 × 6371000     		dl = 1058.54165000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52281224-0.52264609) × R
    0.000166150000000087 × 6371000     		dr = 1058.54165000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44753889-0.44773064) × cos(0.52281224) × R
    0.000191749999999991 × 0.866418403664834 × 6371000     		do = 1058.45072883925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44753889-0.44773064) × cos(0.52264609) × R
    0.000191749999999991 × 0.866501353504969 × 6371000     		du = 1058.55206361974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52281224)-sin(0.52264609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866418403664834-0.866501353504969)×R²
    abs(0.44773064-0.44753889)×8.29498401346829e-05×R²
    0.000191749999999991×8.29498401346829e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.29498401346829e-05×40589641000000     		ar = 1120467.81707029m²