Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18714 / 13474
↖ ↑ ↗
← N 30.429729°
E 25.598144°		 ← 1 053.36 m → N 30.429729°
E 25.609131°		 →
↑
1 053.38 m
↓
↑
1 053.38 m
↓
N 30.420256°
E 25.598144°		 ← 1 053.46 m →
1 109 643 m²		 N 30.420256°
E 25.609131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571121215820312 y=0.411209106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571121215820312 × 215)
    floor (0.571121215820312 × 32768)
    floor (18714.5)     		tx = 18714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.411209106445312 × 215)
    floor (0.411209106445312 × 32768)
    floor (13474.5)     		ty = 13474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18714 / 13474 ti = "15/18714/13474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18714/13474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18714 ÷ 215
    18714 ÷ 32768     		x = 0.57110595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13474 ÷ 215
    13474 ÷ 32768     		y = 0.41119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57110595703125 × 2 - 1) × π
    0.1422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44677190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41119384765625 × 2 - 1) × π
    0.1776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.557985511577454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44677190} λ = 0.44677190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.557985511577454))-π/2
    2×atan(1.74714934068617)-π/2
    2×1.05094764917847-π/2
    2.10189529835694-1.57079632675     		φ = 0.53109897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44677190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.598144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53109897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.429729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18714 KachelY 13474 0.44677190 0.53109897 25.598144 30.429729
    Oben rechts KachelX + 1 18715 KachelY 13474 0.44696365 0.53109897 25.609131 30.429729
    Unten links KachelX 18714 KachelY + 1 13475 0.44677190 0.53093363 25.598144 30.420256
    Unten rechts KachelX + 1 18715 KachelY + 1 13475 0.44696365 0.53093363 25.609131 30.420256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53109897-0.53093363) × R
    0.000165339999999903 × 6371000     		dl = 1053.38113999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53109897-0.53093363) × R
    0.000165339999999903 × 6371000     		dr = 1053.38113999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44677190-0.44696365) × cos(0.53109897) × R
    0.000191749999999991 × 0.862250983629484 × 6371000     		do = 1053.35964495283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44677190-0.44696365) × cos(0.53093363) × R
    0.000191749999999991 × 0.862334713450655 × 6371000     		du = 1053.46193258877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53109897)-sin(0.53093363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862250983629484-0.862334713450655)×R²
    abs(0.44696365-0.44677190)×8.37298211707749e-05×R²
    0.000191749999999991×8.37298211707749e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.37298211707749e-05×40589641000000     		ar = 1109643.06009133m²