Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18712 / 14119
↖ ↑ ↗
← N 24.136728°
E 25.576172°		 ← 1 114.83 m → N 24.136728°
E 25.587158°		 →
↑
1 114.86 m
↓
↑
1 114.86 m
↓
N 24.126702°
E 25.576172°		 ← 1 114.92 m →
1 242 934 m²		 N 24.126702°
E 25.587158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571060180664062 y=0.430892944335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571060180664062 × 215)
    floor (0.571060180664062 × 32768)
    floor (18712.5)     		tx = 18712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430892944335938 × 215)
    floor (0.430892944335938 × 32768)
    floor (14119.5)     		ty = 14119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18712 / 14119 ti = "15/18712/14119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18712/14119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18712 ÷ 215
    18712 ÷ 32768     		x = 0.571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14119 ÷ 215
    14119 ÷ 32768     		y = 0.430877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571044921875 × 2 - 1) × π
    0.14208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44638841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430877685546875 × 2 - 1) × π
    0.13824462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.434308310557709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44638841} λ = 0.44638841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434308310557709))-π/2
    2×atan(1.54389479381118)-π/2
    2×0.996030852002263-π/2
    1.99206170400453-1.57079632675     		φ = 0.42126538
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44638841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.576172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42126538 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.136728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18712 KachelY 14119 0.44638841 0.42126538 25.576172 24.136728
    Oben rechts KachelX + 1 18713 KachelY 14119 0.44658016 0.42126538 25.587158 24.136728
    Unten links KachelX 18712 KachelY + 1 14120 0.44638841 0.42109039 25.576172 24.126702
    Unten rechts KachelX + 1 18713 KachelY + 1 14120 0.44658016 0.42109039 25.587158 24.126702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42126538-0.42109039) × R
    0.000174990000000042 × 6371000     		dl = 1114.86129000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42126538-0.42109039) × R
    0.000174990000000042 × 6371000     		dr = 1114.86129000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44638841-0.44658016) × cos(0.42126538) × R
    0.000191749999999991 × 0.912572237515145 × 6371000     		do = 1114.83406380877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44638841-0.44658016) × cos(0.42109039) × R
    0.000191749999999991 × 0.912643779671347 × 6371000     		du = 1114.92146251481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42126538)-sin(0.42109039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912572237515145-0.912643779671347)×R²
    abs(0.44658016-0.44638841)×7.15421562014207e-05×R²
    0.000191749999999991×7.15421562014207e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.15421562014207e-05×40589641000000     		ar = 1242934.06440269m²