Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18711 / 13721
↖ ↑ ↗
← N 28.062286°
E 25.565185°		 ← 1 078.02 m → N 28.062286°
E 25.576172°		 →
↑
1 078.10 m
↓
↑
1 078.10 m
↓
N 28.052591°
E 25.565185°		 ← 1 078.12 m →
1 162 266 m²		 N 28.052591°
E 25.576172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.571029663085938 y=0.418746948242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.571029663085938 × 215)
    floor (0.571029663085938 × 32768)
    floor (18711.5)     		tx = 18711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418746948242188 × 215)
    floor (0.418746948242188 × 32768)
    floor (13721.5)     		ty = 13721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18711 / 13721 ti = "15/18711/13721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18711/13721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18711 ÷ 215
    18711 ÷ 32768     		x = 0.571014404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13721 ÷ 215
    13721 ÷ 32768     		y = 0.418731689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.571014404296875 × 2 - 1) × π
    0.14202880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44619666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418731689453125 × 2 - 1) × π
    0.16253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.510623854752838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44619666} λ = 0.44619666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.510623854752838))-π/2
    2×atan(1.66633041890141)-π/2
    2×1.03028780655752-π/2
    2.06057561311505-1.57079632675     		φ = 0.48977929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44619666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.565185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48977929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.062286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18711 KachelY 13721 0.44619666 0.48977929 25.565185 28.062286
    Oben rechts KachelX + 1 18712 KachelY 13721 0.44638841 0.48977929 25.576172 28.062286
    Unten links KachelX 18711 KachelY + 1 13722 0.44619666 0.48961007 25.565185 28.052591
    Unten rechts KachelX + 1 18712 KachelY + 1 13722 0.44638841 0.48961007 25.576172 28.052591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48977929-0.48961007) × R
    0.00016921999999997 × 6371000     		dl = 1078.10061999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48977929-0.48961007) × R
    0.00016921999999997 × 6371000     		dr = 1078.10061999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44619666-0.44638841) × cos(0.48977929) × R
    0.000191749999999991 × 0.882436708958559 × 6371000     		do = 1078.01931930455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44619666-0.44638841) × cos(0.48961007) × R
    0.000191749999999991 × 0.882516302680718 × 6371000     		du = 1078.11655411959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48977929)-sin(0.48961007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882436708958559-0.882516302680718)×R²
    abs(0.44638841-0.44619666)×7.95937221597098e-05×R²
    0.000191749999999991×7.95937221597098e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.95937221597098e-05×40589641000000     		ar = 1162265.71374451m²