Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18710 / 13697
↖ ↑ ↗
← N 28.294708°
E 25.554199°		 ← 1 075.68 m → N 28.294708°
E 25.565185°		 →
↑
1 075.74 m
↓
↑
1 075.74 m
↓
N 28.285033°
E 25.554199°		 ← 1 075.78 m →
1 157 207 m²		 N 28.285033°
E 25.565185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570999145507812 y=0.418014526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570999145507812 × 215)
    floor (0.570999145507812 × 32768)
    floor (18710.5)     		tx = 18710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418014526367188 × 215)
    floor (0.418014526367188 × 32768)
    floor (13697.5)     		ty = 13697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18710 / 13697 ti = "15/18710/13697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18710/13697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18710 ÷ 215
    18710 ÷ 32768     		x = 0.57098388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13697 ÷ 215
    13697 ÷ 32768     		y = 0.417999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57098388671875 × 2 - 1) × π
    0.1419677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44600491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    0.16400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.515225797116364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44600491} λ = 0.44600491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515225797116364))-π/2
    2×atan(1.67401644721296)-π/2
    2×1.03231606614819-π/2
    2.06463213229638-1.57079632675     		φ = 0.49383581
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44600491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.554199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49383581 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.294708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18710 KachelY 13697 0.44600491 0.49383581 25.554199 28.294708
    Oben rechts KachelX + 1 18711 KachelY 13697 0.44619666 0.49383581 25.565185 28.294708
    Unten links KachelX 18710 KachelY + 1 13698 0.44600491 0.49366696 25.554199 28.285033
    Unten rechts KachelX + 1 18711 KachelY + 1 13698 0.44619666 0.49366696 25.565185 28.285033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49383581-0.49366696) × R
    0.000168849999999998 × 6371000     		dl = 1075.74334999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49383581-0.49366696) × R
    0.000168849999999998 × 6371000     		dr = 1075.74334999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44600491-0.44619666) × cos(0.49383581) × R
    0.000191750000000046 × 0.880521140481769 × 6371000     		do = 1075.67918566755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44600491-0.44619666) × cos(0.49366696) × R
    0.000191750000000046 × 0.880601163990906 × 6371000     		du = 1075.77694552724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49383581)-sin(0.49366696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880521140481769-0.880601163990906)×R²
    abs(0.44619666-0.44600491)×8.00235091368284e-05×R²
    0.000191750000000046×8.00235091368284e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.00235091368284e-05×40589641000000     		ar = 1157207.31572449m²