Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1871 / 976
↖ ↑ ↗
← N 68.138852°
W 15.556641°		 ← 3 639.06 m → N 68.138852°
W 15.468750°		 →
↑
3 641.66 m
↓
↑
3 641.66 m
↓
N 68.106101°
W 15.556641°		 ← 3 644.24 m →
13 261 654 m²		 N 68.106101°
W 15.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4569091796875 y=0.2384033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4569091796875 × 212)
    floor (0.4569091796875 × 4096)
    floor (1871.5)     		tx = 1871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2384033203125 × 212)
    floor (0.2384033203125 × 4096)
    floor (976.5)     		ty = 976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1871 / 976 ti = "12/1871/976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1871/976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1871 ÷ 212
    1871 ÷ 4096     		x = 0.456787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 976 ÷ 212
    976 ÷ 4096     		y = 0.23828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456787109375 × 2 - 1) × π
    -0.08642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27151460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23828125 × 2 - 1) × π
    0.5234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64442740456641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27151460} λ = -0.27151460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64442740456641))-π/2
    2×atan(5.17804413350958)-π/2
    2×1.38002181829244-π/2
    2.76004363658488-1.57079632675     		φ = 1.18924731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27151460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.556641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18924731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.138852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1871 KachelY 976 -0.27151460 1.18924731 -15.556641 68.138852
    Oben rechts KachelX + 1 1872 KachelY 976 -0.26998062 1.18924731 -15.468750 68.138852
    Unten links KachelX 1871 KachelY + 1 977 -0.27151460 1.18867571 -15.556641 68.106101
    Unten rechts KachelX + 1 1872 KachelY + 1 977 -0.26998062 1.18867571 -15.468750 68.106101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18924731-1.18867571) × R
    0.000571600000000005 × 6371000     		dl = 3641.66360000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18924731-1.18867571) × R
    0.000571600000000005 × 6371000     		dr = 3641.66360000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27151460--0.26998062) × cos(1.18924731) × R
    0.00153397999999999 × 0.372358540952008 × 6371000     		do = 3639.05502367233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27151460--0.26998062) × cos(1.18867571) × R
    0.00153397999999999 × 0.372888975742732 × 6371000     		du = 3644.23895576364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18924731)-sin(1.18867571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372358540952008-0.372888975742732)×R²
    abs(-0.26998062--0.27151460)×0.000530434790723566×R²
    0.00153397999999999×0.000530434790723566×6371000²
    0.00153397999999999×0.000530434790723566×40589641000000     		ar = 13261653.6475804m²