Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1871 / 1965
↖ ↑ ↗
← N 79.508662°
W138.889160°		 ← 444.89 m → N 79.508662°
W138.867187°		 →
↑
445.01 m
↓
↑
445.01 m
↓
N 79.504660°
W138.889160°		 ← 445.06 m →
198 019 m²		 N 79.504660°
W138.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.114227294921875 y=0.119964599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.114227294921875 × 214)
    floor (0.114227294921875 × 16384)
    floor (1871.5)     		tx = 1871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119964599609375 × 214)
    floor (0.119964599609375 × 16384)
    floor (1965.5)     		ty = 1965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1871 / 1965 ti = "14/1871/1965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1871/1965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1871 ÷ 214
    1871 ÷ 16384     		x = 0.11419677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1965 ÷ 214
    1965 ÷ 16384     		y = 0.11993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.11419677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7716064453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.42407314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11993408203125 × 2 - 1) × π
    0.7601318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38802459147272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.42407314} λ = -2.42407314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38802459147272))-π/2
    2×atan(10.8919566135602)-π/2
    2×1.47924212624409-π/2
    2.95848425248819-1.57079632675     		φ = 1.38768793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.42407314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -138.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38768793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.508662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1871 KachelY 1965 -2.42407314 1.38768793 -138.889160 79.508662
    Oben rechts KachelX + 1 1872 KachelY 1965 -2.42368964 1.38768793 -138.867187 79.508662
    Unten links KachelX 1871 KachelY + 1 1966 -2.42407314 1.38761808 -138.889160 79.504660
    Unten rechts KachelX + 1 1872 KachelY + 1 1966 -2.42368964 1.38761808 -138.867187 79.504660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38768793-1.38761808) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dl = 445.014350000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38768793-1.38761808) × R
    6.98500000000379e-05 × 6371000     		dr = 445.014350000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.42407314--2.42368964) × cos(1.38768793) × R
    0.00038349999999987 × 0.182086880179552 × 6371000     		do = 444.888959474624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.42407314--2.42368964) × cos(1.38761808) × R
    0.00038349999999987 × 0.182155562014126 × 6371000     		du = 445.056768324381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38768793)-sin(1.38761808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182086880179552-0.182155562014126)×R²
    abs(-2.42368964--2.42407314)×6.8681834574924e-05×R²
    0.00038349999999987×6.8681834574924e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.8681834574924e-05×40589641000000     		ar = 198019.309878004m²