Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1871 / 1867
↖ ↑ ↗
← S 81.387650°
E148.886718°		 ← 2 926.99 m → S 81.387650°
E149.062500°		 →
↑
2 922.51 m
↓
↑
2 922.51 m
↓
S 81.413933°
E148.886718°		 ← 2 918.12 m →
8 541 186 m²		 S 81.413933°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913818359375 y=0.911865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913818359375 × 211)
    floor (0.913818359375 × 2048)
    floor (1871.5)     		tx = 1871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911865234375 × 211)
    floor (0.911865234375 × 2048)
    floor (1867.5)     		ty = 1867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1871 / 1867 ti = "11/1871/1867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1871/1867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1871 ÷ 211
    1871 ÷ 2048     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1867 ÷ 211
    1867 ÷ 2048     		y = 0.91162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    -0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58629160830127))-π/2
    2×atan(0.0752987602615946)-π/2
    2×0.0751569302177369-π/2
    0.150313860435474-1.57079632675     		φ = -1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1871 KachelY 1867 2.59856345 -1.42048247 148.886718 -81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 1872 KachelY 1867 2.60163142 -1.42048247 149.062500 -81.387650
    Unten links KachelX 1871 KachelY + 1 1868 2.59856345 -1.42094119 148.886718 -81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 1872 KachelY + 1 1868 2.60163142 -1.42094119 149.062500 -81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42048247--1.42094119) × R
    0.000458719999999913 × 6371000     		dl = 2922.50511999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42048247--1.42094119) × R
    0.000458719999999913 × 6371000     		dr = 2922.50511999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.42048247) × R
    0.00306797000000003 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 2926.98887405439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.42094119) × R
    0.00306797000000003 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 2918.12350963659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42048247)-sin(-1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149294894358631)×R²
    abs(2.60163142-2.59856345)×0.000453563270997603×R²
    0.00306797000000003×0.000453563270997603×6371000²
    0.00306797000000003×0.000453563270997603×40589641000000     		ar = 8541185.58392474m²