Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1871 / 1849
↖ ↑ ↗
← S 80.900668°
E148.886718°		 ← 3 091.14 m → S 80.900668°
E149.062500°		 →
↑
3 086.49 m
↓
↑
3 086.49 m
↓
S 80.928426°
E148.886718°		 ← 3 081.79 m →
9 526 352 m²		 S 80.928426°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913818359375 y=0.903076171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913818359375 × 211)
    floor (0.913818359375 × 2048)
    floor (1871.5)     		tx = 1871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903076171875 × 211)
    floor (0.903076171875 × 2048)
    floor (1849.5)     		ty = 1849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1871 / 1849 ti = "11/1871/1849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1871/1849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1871 ÷ 211
    1871 ÷ 2048     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1849 ÷ 211
    1849 ÷ 2048     		y = 0.90283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90283203125 × 2 - 1) × π
    -0.8056640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.53106829993897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53106829993897))-π/2
    2×atan(0.0795739659992223)-π/2
    2×0.0794066466781825-π/2
    0.158813293356365-1.57079632675     		φ = -1.41198303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41198303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.900668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1871 KachelY 1849 2.59856345 -1.41198303 148.886718 -80.900668
    Oben rechts KachelX + 1 1872 KachelY 1849 2.60163142 -1.41198303 149.062500 -80.900668
    Unten links KachelX 1871 KachelY + 1 1850 2.59856345 -1.41246749 148.886718 -80.928426
    Unten rechts KachelX + 1 1872 KachelY + 1 1850 2.60163142 -1.41246749 149.062500 -80.928426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41198303--1.41246749) × R
    0.00048446000000002 × 6371000     		dl = 3086.49466000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41198303--1.41246749) × R
    0.00048446000000002 × 6371000     		dr = 3086.49466000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.41198303) × R
    0.00306797000000003 × 0.158146548926799 × 6371000     		do = 3091.1382761865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.41246749) × R
    0.00306797000000003 × 0.157668167000313 × 6371000     		du = 3081.78780541346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41198303)-sin(-1.41246749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158146548926799-0.157668167000313)×R²
    abs(2.60163142-2.59856345)×0.000478381926486443×R²
    0.00306797000000003×0.000478381926486443×6371000²
    0.00306797000000003×0.000478381926486443×40589641000000     		ar = 9526351.8800374m²