Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1871 / 1845
↖ ↑ ↗
← S 80.788795°
E148.886718°		 ← 3 128.82 m → S 80.788795°
E149.062500°		 →
↑
3 124.08 m
↓
↑
3 124.08 m
↓
S 80.816891°
E148.886718°		 ← 3 119.36 m →
9 759 906 m²		 S 80.816891°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913818359375 y=0.901123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913818359375 × 211)
    floor (0.913818359375 × 2048)
    floor (1871.5)     		tx = 1871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901123046875 × 211)
    floor (0.901123046875 × 2048)
    floor (1845.5)     		ty = 1845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1871 / 1845 ti = "11/1871/1845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1871/1845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1871 ÷ 211
    1871 ÷ 2048     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1845 ÷ 211
    1845 ÷ 2048     		y = 0.90087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90087890625 × 2 - 1) × π
    -0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51879645363623))-π/2
    2×atan(0.0805565019138813)-π/2
    2×0.0803829241465203-π/2
    0.160765848293041-1.57079632675     		φ = -1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1871 KachelY 1845 2.59856345 -1.41003048 148.886718 -80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 1872 KachelY 1845 2.60163142 -1.41003048 149.062500 -80.788795
    Unten links KachelX 1871 KachelY + 1 1846 2.59856345 -1.41052084 148.886718 -80.816891
    Unten rechts KachelX + 1 1872 KachelY + 1 1846 2.60163142 -1.41052084 149.062500 -80.816891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41003048--1.41052084) × R
    0.000490359999999912 × 6371000     		dl = 3124.08355999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41003048--1.41052084) × R
    0.000490359999999912 × 6371000     		dr = 3124.08355999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.41003048) × R
    0.00306797000000003 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 3128.81669732451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.41052084) × R
    0.00306797000000003 × 0.159590168645371 × 6371000     		du = 3119.35532043198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41003048)-sin(-1.41052084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.159590168645371)×R²
    abs(2.60163142-2.59856345)×0.000484056024014662×R²
    0.00306797000000003×0.000484056024014662×6371000²
    0.00306797000000003×0.000484056024014662×40589641000000     		ar = 9759905.93592008m²