Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1871 / 1820
↖ ↑ ↗
← S 80.058050°
E148.886718°		 ← 3 374.63 m → S 80.058050°
E149.062500°		 →
↑
3 369.49 m
↓
↑
3 369.49 m
↓
S 80.088352°
E148.886718°		 ← 3 364.45 m →
11 353 641 m²		 S 80.088352°
E149.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913818359375 y=0.888916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913818359375 × 211)
    floor (0.913818359375 × 2048)
    floor (1871.5)     		tx = 1871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.888916015625 × 211)
    floor (0.888916015625 × 2048)
    floor (1820.5)     		ty = 1820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1871 / 1820 ti = "11/1871/1820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1871/1820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1871 ÷ 211
    1871 ÷ 2048     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1820 ÷ 211
    1820 ÷ 2048     		y = 0.888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.888671875 × 2 - 1) × π
    -0.77734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.44209741424414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44209741424414))-π/2
    2×atan(0.0869782306333051)-π/2
    2×0.0867598846112584-π/2
    0.173519769222517-1.57079632675     		φ = -1.39727656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39727656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.058050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1871 KachelY 1820 2.59856345 -1.39727656 148.886718 -80.058050
    Oben rechts KachelX + 1 1872 KachelY 1820 2.60163142 -1.39727656 149.062500 -80.058050
    Unten links KachelX 1871 KachelY + 1 1821 2.59856345 -1.39780544 148.886718 -80.088352
    Unten rechts KachelX + 1 1872 KachelY + 1 1821 2.60163142 -1.39780544 149.062500 -80.088352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39727656--1.39780544) × R
    0.000528880000000065 × 6371000     		dl = 3369.49448000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39727656--1.39780544) × R
    0.000528880000000065 × 6371000     		dr = 3369.49448000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.39727656) × R
    0.00306797000000003 × 0.172650322461766 × 6371000     		do = 3374.6295684551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.60163142) × cos(-1.39780544) × R
    0.00306797000000003 × 0.172129360435112 × 6371000     		du = 3364.44682547424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39727656)-sin(-1.39780544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172650322461766-0.172129360435112)×R²
    abs(2.60163142-2.59856345)×0.000520962026654331×R²
    0.00306797000000003×0.000520962026654331×6371000²
    0.00306797000000003×0.000520962026654331×40589641000000     		ar = 11353640.6194717m²