Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18709 / 19442
↖ ↑ ↗
← S 31.821564°
E 25.543213°		 ← 1 037.97 m → S 31.821564°
E 25.554199°		 →
↑
1 037.96 m
↓
↑
1 037.96 m
↓
S 31.830899°
E 25.543213°		 ← 1 037.86 m →
1 077 316 m²		 S 31.830899°
E 25.554199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570968627929688 y=0.593338012695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570968627929688 × 215)
    floor (0.570968627929688 × 32768)
    floor (18709.5)     		tx = 18709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593338012695312 × 215)
    floor (0.593338012695312 × 32768)
    floor (19442.5)     		ty = 19442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18709 / 19442 ti = "15/18709/19442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18709/19442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18709 ÷ 215
    18709 ÷ 32768     		x = 0.570953369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19442 ÷ 215
    19442 ÷ 32768     		y = 0.59332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570953369140625 × 2 - 1) × π
    0.14190673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44581317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59332275390625 × 2 - 1) × π
    -0.1866455078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586364156152527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44581317} λ = 0.44581317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586364156152527))-π/2
    2×atan(0.556346400552824)-π/2
    2×0.507702626443989-π/2
    1.01540525288798-1.57079632675     		φ = -0.55539107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44581317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.543213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55539107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.821564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18709 KachelY 19442 0.44581317 -0.55539107 25.543213 -31.821564
    Oben rechts KachelX + 1 18710 KachelY 19442 0.44600491 -0.55539107 25.554199 -31.821564
    Unten links KachelX 18709 KachelY + 1 19443 0.44581317 -0.55555399 25.543213 -31.830899
    Unten rechts KachelX + 1 18710 KachelY + 1 19443 0.44600491 -0.55555399 25.554199 -31.830899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55539107--0.55555399) × R
    0.000162920000000066 × 6371000     		dl = 1037.96332000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55539107--0.55555399) × R
    0.000162920000000066 × 6371000     		dr = 1037.96332000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44581317-0.44600491) × cos(-0.55539107) × R
    0.000191739999999996 × 0.849694303568596 × 6371000     		do = 1037.96577771671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44581317-0.44600491) × cos(-0.55555399) × R
    0.000191739999999996 × 0.849608388546574 × 6371000     		du = 1037.86082602729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55539107)-sin(-0.55555399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849694303568596-0.849608388546574)×R²
    abs(0.44600491-0.44581317)×8.59150220221538e-05×R²
    0.000191739999999996×8.59150220221538e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.59150220221538e-05×40589641000000     		ar = 1077315.93906692m²