Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18708 / 13692
↖ ↑ ↗
← N 28.343065°
E 25.532227°		 ← 1 075.19 m → N 28.343065°
E 25.543213°		 →
↑
1 075.23 m
↓
↑
1 075.23 m
↓
N 28.333395°
E 25.532227°		 ← 1 075.29 m →
1 156 133 m²		 N 28.333395°
E 25.543213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570938110351562 y=0.417861938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570938110351562 × 215)
    floor (0.570938110351562 × 32768)
    floor (18708.5)     		tx = 18708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417861938476562 × 215)
    floor (0.417861938476562 × 32768)
    floor (13692.5)     		ty = 13692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18708 / 13692 ti = "15/18708/13692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18708/13692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18708 ÷ 215
    18708 ÷ 32768     		x = 0.5709228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13692 ÷ 215
    13692 ÷ 32768     		y = 0.4178466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5709228515625 × 2 - 1) × π
    0.141845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44562142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    0.164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.516184535108765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44562142} λ = 0.44562142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516184535108765))-π/2
    2×atan(1.67562215998673)-π/2
    2×1.03273806473878-π/2
    2.06547612947757-1.57079632675     		φ = 0.49467980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44562142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.532227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49467980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.343065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18708 KachelY 13692 0.44562142 0.49467980 25.532227 28.343065
    Oben rechts KachelX + 1 18709 KachelY 13692 0.44581317 0.49467980 25.543213 28.343065
    Unten links KachelX 18708 KachelY + 1 13693 0.44562142 0.49451103 25.532227 28.333395
    Unten rechts KachelX + 1 18709 KachelY + 1 13693 0.44581317 0.49451103 25.543213 28.333395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49467980-0.49451103) × R
    0.000168769999999985 × 6371000     		dl = 1075.2336699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49467980-0.49451103) × R
    0.000168769999999985 × 6371000     		dr = 1075.2336699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44562142-0.44581317) × cos(0.49467980) × R
    0.000191749999999991 × 0.880120769857609 × 6371000     		do = 1075.19007719822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44562142-0.44581317) × cos(0.49451103) × R
    0.000191749999999991 × 0.880200880856882 × 6371000     		du = 1075.28794393929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49467980)-sin(0.49451103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880120769857609-0.880200880856882)×R²
    abs(0.44581317-0.44562142)×8.01109992732973e-05×R²
    0.000191749999999991×8.01109992732973e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.01109992732973e-05×40589641000000     		ar = 1156133.19020534m²