Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18707 / 13467
↖ ↑ ↗
← N 30.496018°
E 25.521240°		 ← 1 052.64 m → N 30.496018°
E 25.532227°		 →
↑
1 052.68 m
↓
↑
1 052.68 m
↓
N 30.486551°
E 25.521240°		 ← 1 052.75 m →
1 108 151 m²		 N 30.486551°
E 25.532227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570907592773438 y=0.410995483398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570907592773438 × 215)
    floor (0.570907592773438 × 32768)
    floor (18707.5)     		tx = 18707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410995483398438 × 215)
    floor (0.410995483398438 × 32768)
    floor (13467.5)     		ty = 13467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18707 / 13467 ti = "15/18707/13467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18707/13467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18707 ÷ 215
    18707 ÷ 32768     		x = 0.570892333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13467 ÷ 215
    13467 ÷ 32768     		y = 0.410980224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570892333984375 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44542967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410980224609375 × 2 - 1) × π
    0.17803955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.559327744766815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44542967} λ = 0.44542967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559327744766815))-π/2
    2×atan(1.74949599704573)-π/2
    2×1.05152612334246-π/2
    2.10305224668493-1.57079632675     		φ = 0.53225592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44542967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.521240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53225592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.496018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18707 KachelY 13467 0.44542967 0.53225592 25.521240 30.496018
    Oben rechts KachelX + 1 18708 KachelY 13467 0.44562142 0.53225592 25.532227 30.496018
    Unten links KachelX 18707 KachelY + 1 13468 0.44542967 0.53209069 25.521240 30.486551
    Unten rechts KachelX + 1 18708 KachelY + 1 13468 0.44562142 0.53209069 25.532227 30.486551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53225592-0.53209069) × R
    0.000165230000000016 × 6371000     		dl = 1052.6803300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53225592-0.53209069) × R
    0.000165230000000016 × 6371000     		dr = 1052.6803300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44542967-0.44562142) × cos(0.53225592) × R
    0.000191749999999991 × 0.861664433219813 × 6371000     		do = 1052.64309195028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44542967-0.44562142) × cos(0.53209069) × R
    0.000191749999999991 × 0.861748272126041 × 6371000     		du = 1052.7455128488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53225592)-sin(0.53209069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861664433219813-0.861748272126041)×R²
    abs(0.44562142-0.44542967)×8.38389062277622e-05×R²
    0.000191749999999991×8.38389062277622e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.38389062277622e-05×40589641000000     		ar = 1108150.58816028m²