Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18706 / 19313
↖ ↑ ↗
← S 30.609550°
E 25.510254°		 ← 1 051.41 m → S 30.609550°
E 25.521240°		 →
↑
1 051.34 m
↓
↑
1 051.34 m
↓
S 30.619005°
E 25.510254°		 ← 1 051.31 m →
1 105 341 m²		 S 30.619005°
E 25.521240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570877075195312 y=0.589401245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570877075195312 × 215)
    floor (0.570877075195312 × 32768)
    floor (18706.5)     		tx = 18706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589401245117188 × 215)
    floor (0.589401245117188 × 32768)
    floor (19313.5)     		ty = 19313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18706 / 19313 ti = "15/18706/19313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18706/19313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18706 ÷ 215
    18706 ÷ 32768     		x = 0.57086181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19313 ÷ 215
    19313 ÷ 32768     		y = 0.589385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57086181640625 × 2 - 1) × π
    0.1417236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44523792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589385986328125 × 2 - 1) × π
    -0.17877197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.561628715948578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44523792} λ = 0.44523792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561628715948578))-π/2
    2×atan(0.570279483753009)-π/2
    2×0.518279450147285-π/2
    1.03655890029457-1.57079632675     		φ = -0.53423743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44523792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.510254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53423743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.609550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18706 KachelY 19313 0.44523792 -0.53423743 25.510254 -30.609550
    Oben rechts KachelX + 1 18707 KachelY 19313 0.44542967 -0.53423743 25.521240 -30.609550
    Unten links KachelX 18706 KachelY + 1 19314 0.44523792 -0.53440245 25.510254 -30.619005
    Unten rechts KachelX + 1 18707 KachelY + 1 19314 0.44542967 -0.53440245 25.521240 -30.619005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53423743--0.53440245) × R
    0.00016501999999996 × 6371000     		dl = 1051.34241999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53423743--0.53440245) × R
    0.00016501999999996 × 6371000     		dr = 1051.34241999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44523792-0.44542967) × cos(-0.53423743) × R
    0.000191749999999991 × 0.860657168589826 × 6371000     		do = 1051.41257794315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44523792-0.44542967) × cos(-0.53440245) × R
    0.000191749999999991 × 0.8605731311834 × 6371000     		du = 1051.30991454899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53423743)-sin(-0.53440245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860657168589826-0.8605731311834)×R²
    abs(0.44542967-0.44523792)×8.40374064258187e-05×R²
    0.000191749999999991×8.40374064258187e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.40374064258187e-05×40589641000000     		ar = 1105340.67943057m²