Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18705 / 19441
↖ ↑ ↗
← S 31.812229°
E 25.499268°		 ← 1 038.07 m → S 31.812229°
E 25.510254°		 →
↑
1 038.03 m
↓
↑
1 038.03 m
↓
S 31.821564°
E 25.499268°		 ← 1 037.97 m →
1 077 491 m²		 S 31.821564°
E 25.510254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570846557617188 y=0.593307495117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570846557617188 × 215)
    floor (0.570846557617188 × 32768)
    floor (18705.5)     		tx = 18705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593307495117188 × 215)
    floor (0.593307495117188 × 32768)
    floor (19441.5)     		ty = 19441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18705 / 19441 ti = "15/18705/19441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18705/19441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18705 ÷ 215
    18705 ÷ 32768     		x = 0.570831298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19441 ÷ 215
    19441 ÷ 32768     		y = 0.593292236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570831298828125 × 2 - 1) × π
    0.14166259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44504618
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593292236328125 × 2 - 1) × π
    -0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44504618} λ = 0.44504618}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586172408554047))-π/2
    2×atan(0.55645308886734)-π/2
    2×0.507784093982778-π/2
    1.01556818796556-1.57079632675     		φ = -0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44504618} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.499268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18705 KachelY 19441 0.44504618 -0.55522814 25.499268 -31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 18706 KachelY 19441 0.44523792 -0.55522814 25.510254 -31.812229
    Unten links KachelX 18705 KachelY + 1 19442 0.44504618 -0.55539107 25.499268 -31.821564
    Unten rechts KachelX + 1 18706 KachelY + 1 19442 0.44523792 -0.55539107 25.510254 -31.821564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55522814--0.55539107) × R
    0.000162930000000006 × 6371000     		dl = 1038.02703000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55522814--0.55539107) × R
    0.000162930000000006 × 6371000     		dr = 1038.02703000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44504618-0.44523792) × cos(-0.55522814) × R
    0.000191739999999996 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 1038.07070829486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44504618-0.44523792) × cos(-0.55539107) × R
    0.000191739999999996 × 0.849694303568596 × 6371000     		du = 1037.96577771671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55522814)-sin(-0.55539107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849694303568596)×R²
    abs(0.44523792-0.44504618)×8.58977400206573e-05×R²
    0.000191739999999996×8.58977400206573e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.58977400206573e-05×40589641000000     		ar = 1077490.99625625m²