Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18704 / 19439
↖ ↑ ↗
← S 31.793555°
E 25.488281°		 ← 1 038.33 m → S 31.793555°
E 25.499268°		 →
↑
1 038.28 m
↓
↑
1 038.28 m
↓
S 31.802893°
E 25.488281°		 ← 1 038.23 m →
1 078 030 m²		 S 31.802893°
E 25.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570816040039062 y=0.593246459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570816040039062 × 215)
    floor (0.570816040039062 × 32768)
    floor (18704.5)     		tx = 18704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593246459960938 × 215)
    floor (0.593246459960938 × 32768)
    floor (19439.5)     		ty = 19439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18704 / 19439 ti = "15/18704/19439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18704/19439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18704 ÷ 215
    18704 ÷ 32768     		x = 0.57080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19439 ÷ 215
    19439 ÷ 32768     		y = 0.593231201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57080078125 × 2 - 1) × π
    0.1416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44485443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.18646240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.585788913357086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44485443} λ = 0.44485443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585788913357086))-π/2
    2×atan(0.556666526877865)-π/2
    2×0.507947053763826-π/2
    1.01589410752765-1.57079632675     		φ = -0.55490222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44485443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55490222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.793555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18704 KachelY 19439 0.44485443 -0.55490222 25.488281 -31.793555
    Oben rechts KachelX + 1 18705 KachelY 19439 0.44504618 -0.55490222 25.499268 -31.793555
    Unten links KachelX 18704 KachelY + 1 19440 0.44485443 -0.55506519 25.488281 -31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 18705 KachelY + 1 19440 0.44504618 -0.55506519 25.499268 -31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55490222--0.55506519) × R
    0.000162969999999985 × 6371000     		dl = 1038.2818699999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55490222--0.55506519) × R
    0.000162969999999985 × 6371000     		dr = 1038.2818699999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44485443-0.44504618) × cos(-0.55490222) × R
    0.000191749999999991 × 0.849951960722725 × 6371000     		do = 1038.33467583329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44485443-0.44504618) × cos(-0.55506519) × R
    0.000191749999999991 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 1038.22976915994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55490222)-sin(-0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849951960722725-0.849866087030189)×R²
    abs(0.44504618-0.44485443)×8.5873692535321e-05×R²
    0.000191749999999991×8.5873692535321e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.5873692535321e-05×40589641000000     		ar = 1078029.60994747m²