Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18703 / 19409
↖ ↑ ↗
← S 31.512996°
E 25.477295°		 ← 1 041.47 m → S 31.512996°
E 25.488281°		 →
↑
1 041.47 m
↓
↑
1 041.47 m
↓
S 31.522362°
E 25.477295°		 ← 1 041.37 m →
1 084 607 m²		 S 31.522362°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570785522460938 y=0.592330932617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570785522460938 × 215)
    floor (0.570785522460938 × 32768)
    floor (18703.5)     		tx = 18703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592330932617188 × 215)
    floor (0.592330932617188 × 32768)
    floor (19409.5)     		ty = 19409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18703 / 19409 ti = "15/18703/19409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18703/19409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18703 ÷ 215
    18703 ÷ 32768     		x = 0.570770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19409 ÷ 215
    19409 ÷ 32768     		y = 0.592315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570770263671875 × 2 - 1) × π
    0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.18463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.580036485402679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44466268} λ = 0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.580036485402679))-π/2
    2×atan(0.559877938820698)-π/2
    2×0.510395395964556-π/2
    1.02079079192911-1.57079632675     		φ = -0.55000553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55000553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.512996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18703 KachelY 19409 0.44466268 -0.55000553 25.477295 -31.512996
    Oben rechts KachelX + 1 18704 KachelY 19409 0.44485443 -0.55000553 25.488281 -31.512996
    Unten links KachelX 18703 KachelY + 1 19410 0.44466268 -0.55016900 25.477295 -31.522362
    Unten rechts KachelX + 1 18704 KachelY + 1 19410 0.44485443 -0.55016900 25.488281 -31.522362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55000553--0.55016900) × R
    0.000163470000000054 × 6371000     		dl = 1041.46737000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55000553--0.55016900) × R
    0.000163470000000054 × 6371000     		dr = 1041.46737000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44466268-0.44485443) × cos(-0.55000553) × R
    0.000191750000000046 × 0.852521631586094 × 6371000     		do = 1041.47388661986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44466268-0.44485443) × cos(-0.55016900) × R
    0.000191750000000046 × 0.852436175743761 × 6371000     		du = 1041.36949040873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55000553)-sin(-0.55016900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852521631586094-0.852436175743761)×R²
    abs(0.44485443-0.44466268)×8.54558423337703e-05×R²
    0.000191750000000046×8.54558423337703e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.54558423337703e-05×40589641000000     		ar = 1084606.70941348m²