Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18703 / 13999
↖ ↑ ↗
← N 25.334097°
E 25.477295°		 ← 1 104.15 m → N 25.334097°
E 25.488281°		 →
↑
1 104.16 m
↓
↑
1 104.16 m
↓
N 25.324167°
E 25.477295°		 ← 1 104.24 m →
1 219 208 m²		 N 25.324167°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570785522460938 y=0.427230834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570785522460938 × 215)
    floor (0.570785522460938 × 32768)
    floor (18703.5)     		tx = 18703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427230834960938 × 215)
    floor (0.427230834960938 × 32768)
    floor (13999.5)     		ty = 13999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18703 / 13999 ti = "15/18703/13999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18703/13999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18703 ÷ 215
    18703 ÷ 32768     		x = 0.570770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13999 ÷ 215
    13999 ÷ 32768     		y = 0.427215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570770263671875 × 2 - 1) × π
    0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.427215576171875 × 2 - 1) × π
    0.14556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.457318022375336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44466268} λ = 0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457318022375336))-π/2
    2×atan(1.57983122604638)-π/2
    2×1.00647986347566-π/2
    2.01295972695133-1.57079632675     		φ = 0.44216340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44216340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.334097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18703 KachelY 13999 0.44466268 0.44216340 25.477295 25.334097
    Oben rechts KachelX + 1 18704 KachelY 13999 0.44485443 0.44216340 25.488281 25.334097
    Unten links KachelX 18703 KachelY + 1 14000 0.44466268 0.44199009 25.477295 25.324167
    Unten rechts KachelX + 1 18704 KachelY + 1 14000 0.44485443 0.44199009 25.488281 25.324167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44216340-0.44199009) × R
    0.000173309999999982 × 6371000     		dl = 1104.15800999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44216340-0.44199009) × R
    0.000173309999999982 × 6371000     		dr = 1104.15800999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44466268-0.44485443) × cos(0.44216340) × R
    0.000191750000000046 × 0.903828069246458 × 6371000     		do = 1104.15184464346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44466268-0.44485443) × cos(0.44199009) × R
    0.000191750000000046 × 0.903902214294465 × 6371000     		du = 1104.24242314429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44216340)-sin(0.44199009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903828069246458-0.903902214294465)×R²
    abs(0.44485443-0.44466268)×7.41450480069572e-05×R²
    0.000191750000000046×7.41450480069572e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.41450480069572e-05×40589641000000     		ar = 1219208.11305972m²