Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18703 / 13465
↖ ↑ ↗
← N 30.514949°
E 25.477295°		 ← 1 052.44 m → N 30.514949°
E 25.488281°		 →
↑
1 052.49 m
↓
↑
1 052.49 m
↓
N 30.505484°
E 25.477295°		 ← 1 052.54 m →
1 107 734 m²		 N 30.505484°
E 25.488281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570785522460938 y=0.410934448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570785522460938 × 215)
    floor (0.570785522460938 × 32768)
    floor (18703.5)     		tx = 18703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410934448242188 × 215)
    floor (0.410934448242188 × 32768)
    floor (13465.5)     		ty = 13465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18703 / 13465 ti = "15/18703/13465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18703/13465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18703 ÷ 215
    18703 ÷ 32768     		x = 0.570770263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13465 ÷ 215
    13465 ÷ 32768     		y = 0.410919189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570770263671875 × 2 - 1) × π
    0.14154052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44466268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410919189453125 × 2 - 1) × π
    0.17816162109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.559711239963776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44466268} λ = 0.44466268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.559711239963776))-π/2
    2×atan(1.75016704902207)-π/2
    2×1.05169132934888-π/2
    2.10338265869777-1.57079632675     		φ = 0.53258633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44466268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.477295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53258633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.514949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18703 KachelY 13465 0.44466268 0.53258633 25.477295 30.514949
    Oben rechts KachelX + 1 18704 KachelY 13465 0.44485443 0.53258633 25.488281 30.514949
    Unten links KachelX 18703 KachelY + 1 13466 0.44466268 0.53242113 25.477295 30.505484
    Unten rechts KachelX + 1 18704 KachelY + 1 13466 0.44485443 0.53242113 25.488281 30.505484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53258633-0.53242113) × R
    0.000165199999999976 × 6371000     		dl = 1052.48919999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53258633-0.53242113) × R
    0.000165199999999976 × 6371000     		dr = 1052.48919999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44466268-0.44485443) × cos(0.53258633) × R
    0.000191750000000046 × 0.861496710225026 × 6371000     		do = 1052.43819495702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44466268-0.44485443) × cos(0.53242113) × R
    0.000191750000000046 × 0.861580580941742 × 6371000     		du = 1052.54065471649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53258633)-sin(0.53242113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861496710225026-0.861580580941742)×R²
    abs(0.44485443-0.44466268)×8.38707167163388e-05×R²
    0.000191750000000046×8.38707167163388e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.38707167163388e-05×40589641000000     		ar = 1107733.7552745m²