Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18702 / 19333
↖ ↑ ↗
← S 30.798474°
E 25.466308°		 ← 1 049.36 m → S 30.798474°
E 25.477295°		 →
↑
1 049.30 m
↓
↑
1 049.30 m
↓
S 30.807911°
E 25.466308°		 ← 1 049.25 m →
1 101 039 m²		 S 30.807911°
E 25.477295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570755004882812 y=0.590011596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570755004882812 × 215)
    floor (0.570755004882812 × 32768)
    floor (18702.5)     		tx = 18702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590011596679688 × 215)
    floor (0.590011596679688 × 32768)
    floor (19333.5)     		ty = 19333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18702 / 19333 ti = "15/18702/19333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18702/19333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18702 ÷ 215
    18702 ÷ 32768     		x = 0.57073974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19333 ÷ 215
    19333 ÷ 32768     		y = 0.589996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57073974609375 × 2 - 1) × π
    0.1414794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44447093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.17999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.565463667918182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44447093} λ = 0.44447093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.565463667918182))-π/2
    2×atan(0.568096677477362)-π/2
    2×0.516630773892431-π/2
    1.03326154778486-1.57079632675     		φ = -0.53753478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44447093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.466308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53753478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.798474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18702 KachelY 19333 0.44447093 -0.53753478 25.466308 -30.798474
    Oben rechts KachelX + 1 18703 KachelY 19333 0.44466268 -0.53753478 25.477295 -30.798474
    Unten links KachelX 18702 KachelY + 1 19334 0.44447093 -0.53769948 25.466308 -30.807911
    Unten rechts KachelX + 1 18703 KachelY + 1 19334 0.44466268 -0.53769948 25.477295 -30.807911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53753478--0.53769948) × R
    0.000164700000000018 × 6371000     		dl = 1049.30370000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53753478--0.53769948) × R
    0.000164700000000018 × 6371000     		dr = 1049.30370000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44447093-0.44466268) × cos(-0.53753478) × R
    0.000191749999999991 × 0.858973532130076 × 6371000     		do = 1049.35578156118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44447093-0.44466268) × cos(-0.53769948) × R
    0.000191749999999991 × 0.858889190787656 × 6371000     		du = 1049.25274686689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53753478)-sin(-0.53769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858973532130076-0.858889190787656)×R²
    abs(0.44466268-0.44447093)×8.4341342419747e-05×R²
    0.000191749999999991×8.4341342419747e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.4341342419747e-05×40589641000000     		ar = 1101038.84935472m²