Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18700 / 13677
↖ ↑ ↗
← N 28.488005°
E 25.444336°		 ← 1 073.72 m → N 28.488005°
E 25.455323°		 →
↑
1 073.77 m
↓
↑
1 073.77 m
↓
N 28.478349°
E 25.444336°		 ← 1 073.82 m →
1 152 979 m²		 N 28.478349°
E 25.455323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570693969726562 y=0.417404174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570693969726562 × 215)
    floor (0.570693969726562 × 32768)
    floor (18700.5)     		tx = 18700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417404174804688 × 215)
    floor (0.417404174804688 × 32768)
    floor (13677.5)     		ty = 13677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18700 / 13677 ti = "15/18700/13677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18700/13677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18700 ÷ 215
    18700 ÷ 32768     		x = 0.5706787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13677 ÷ 215
    13677 ÷ 32768     		y = 0.417388916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5706787109375 × 2 - 1) × π
    0.141357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44408744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417388916015625 × 2 - 1) × π
    0.16522216796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.519060749085968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44408744} λ = 0.44408744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519060749085968))-π/2
    2×atan(1.68044854539515)-π/2
    2×1.03400290745986-π/2
    2.06800581491972-1.57079632675     		φ = 0.49720949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44408744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.444336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49720949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.488005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18700 KachelY 13677 0.44408744 0.49720949 25.444336 28.488005
    Oben rechts KachelX + 1 18701 KachelY 13677 0.44427919 0.49720949 25.455323 28.488005
    Unten links KachelX 18700 KachelY + 1 13678 0.44408744 0.49704095 25.444336 28.478349
    Unten rechts KachelX + 1 18701 KachelY + 1 13678 0.44427919 0.49704095 25.455323 28.478349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49720949-0.49704095) × R
    0.000168539999999995 × 6371000     		dl = 1073.76833999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49720949-0.49704095) × R
    0.000168539999999995 × 6371000     		dr = 1073.76833999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44408744-0.44427919) × cos(0.49720949) × R
    0.000191749999999991 × 0.878916985072001 × 6371000     		do = 1073.71948645557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44408744-0.44427919) × cos(0.49704095) × R
    0.000191749999999991 × 0.878997361916594 × 6371000     		du = 1073.81767796371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49720949)-sin(0.49704095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878916985072001-0.878997361916594)×R²
    abs(0.44427919-0.44408744)×8.03768445925002e-05×R²
    0.000191749999999991×8.03768445925002e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.03768445925002e-05×40589641000000     		ar = 1152978.71079276m²