Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1870 / 1822
↖ ↑ ↗
← S 80.118564°
E148.710937°		 ← 3 354.28 m → S 80.118564°
E148.886718°		 →
↑
3 349.23 m
↓
↑
3 349.23 m
↓
S 80.148684°
E148.710937°		 ← 3 344.16 m →
11 217 328 m²		 S 80.148684°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913330078125 y=0.889892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913330078125 × 211)
    floor (0.913330078125 × 2048)
    floor (1870.5)     		tx = 1870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889892578125 × 211)
    floor (0.889892578125 × 2048)
    floor (1822.5)     		ty = 1822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1870 / 1822 ti = "11/1870/1822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1870/1822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1870 ÷ 211
    1870 ÷ 2048     		x = 0.9130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1822 ÷ 211
    1822 ÷ 2048     		y = 0.8896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9130859375 × 2 - 1) × π
    0.826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59549549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8896484375 × 2 - 1) × π
    -0.779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.44823333739551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59549549} λ = 2.59549549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.44823333739551))-π/2
    2×atan(0.0864461728963008)-π/2
    2×0.086231797575893-π/2
    0.172463595151786-1.57079632675     		φ = -1.39833273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59549549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.710937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39833273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.118564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1870 KachelY 1822 2.59549549 -1.39833273 148.710937 -80.118564
    Oben rechts KachelX + 1 1871 KachelY 1822 2.59856345 -1.39833273 148.886718 -80.118564
    Unten links KachelX 1870 KachelY + 1 1823 2.59549549 -1.39885843 148.710937 -80.148684
    Unten rechts KachelX + 1 1871 KachelY + 1 1823 2.59856345 -1.39885843 148.886718 -80.148684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39833273--1.39885843) × R
    0.000525700000000073 × 6371000     		dl = 3349.23470000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39833273--1.39885843) × R
    0.000525700000000073 × 6371000     		dr = 3349.23470000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59549549-2.59856345) × cos(-1.39833273) × R
    0.00306796000000009 × 0.171609916673991 × 6371000     		do = 3354.28282529977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59549549-2.59856345) × cos(-1.39885843) × R
    0.00306796000000009 × 0.171091991755112 × 6371000     		du = 3344.15947873646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39833273)-sin(-1.39885843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171609916673991-0.171091991755112)×R²
    abs(2.59856345-2.59549549)×0.000517924918879281×R²
    0.00306796000000009×0.000517924918879281×6371000²
    0.00306796000000009×0.000517924918879281×40589641000000     		ar = 11217327.958643m²