Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1870 / 1351
↖ ↑ ↗
← N 76.111349°
W 97.822266°		 ← 1 172.93 m → N 76.111349°
W 97.778321°		 →
↑
1 173.41 m
↓
↑
1 173.41 m
↓
N 76.100796°
W 97.822266°		 ← 1 173.81 m →
1 376 845 m²		 N 76.100796°
W 97.778321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22833251953125 y=0.16497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22833251953125 × 213)
    floor (0.22833251953125 × 8192)
    floor (1870.5)     		tx = 1870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16497802734375 × 213)
    floor (0.16497802734375 × 8192)
    floor (1351.5)     		ty = 1351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1870 / 1351 ti = "13/1870/1351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1870/1351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1870 ÷ 213
    1870 ÷ 8192     		x = 0.228271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1351 ÷ 213
    1351 ÷ 8192     		y = 0.1649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228271484375 × 2 - 1) × π
    -0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1649169921875 × 2 - 1) × π
    0.670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.10538863131287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70732062} λ = -1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10538863131287))-π/2
    2×atan(8.21029316667057)-π/2
    2×1.44959497761654-π/2
    2.89918995523307-1.57079632675     		φ = 1.32839363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32839363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.111349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1870 KachelY 1351 -1.70732062 1.32839363 -97.822266 76.111349
    Oben rechts KachelX + 1 1871 KachelY 1351 -1.70655363 1.32839363 -97.778321 76.111349
    Unten links KachelX 1870 KachelY + 1 1352 -1.70732062 1.32820945 -97.822266 76.100796
    Unten rechts KachelX + 1 1871 KachelY + 1 1352 -1.70655363 1.32820945 -97.778321 76.100796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32839363-1.32820945) × R
    0.0001841800000002 × 6371000     		dl = 1173.41078000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32839363-1.32820945) × R
    0.0001841800000002 × 6371000     		dr = 1173.41078000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70732062--1.70655363) × cos(1.32839363) × R
    0.000766990000000023 × 0.240035768697975 × 6371000     		do = 1172.93317310268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70732062--1.70655363) × cos(1.32820945) × R
    0.000766990000000023 × 0.240214559947368 × 6371000     		du = 1173.80683534315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32839363)-sin(1.32820945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240035768697975-0.240214559947368)×R²
    abs(-1.70655363--1.70732062)×0.000178791249392934×R²
    0.000766990000000023×0.000178791249392934×6371000²
    0.000766990000000023×0.000178791249392934×40589641000000     		ar = 1376845.01577757m²