Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1870 / 1115
↖ ↑ ↗
← N 63.114637°
W 15.644531°		 ← 4 419.41 m → N 63.114637°
W 15.556641°		 →
↑
4 422.43 m
↓
↑
4 422.43 m
↓
N 63.074866°
W 15.644531°		 ← 4 425.46 m →
19 557 915 m²		 N 63.074866°
W 15.556641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4566650390625 y=0.2723388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4566650390625 × 212)
    floor (0.4566650390625 × 4096)
    floor (1870.5)     		tx = 1870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2723388671875 × 212)
    floor (0.2723388671875 × 4096)
    floor (1115.5)     		ty = 1115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1870 / 1115 ti = "12/1870/1115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1870/1115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1870 ÷ 212
    1870 ÷ 4096     		x = 0.45654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1115 ÷ 212
    1115 ÷ 4096     		y = 0.272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27304858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272216796875 × 2 - 1) × π
    0.45556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4312040750564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27304858} λ = -0.27304858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4312040750564))-π/2
    2×atan(4.18373368973679)-π/2
    2×1.3361772798335-π/2
    2.67235455966701-1.57079632675     		φ = 1.10155823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27304858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.644531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10155823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.114637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1870 KachelY 1115 -0.27304858 1.10155823 -15.644531 63.114637
    Oben rechts KachelX + 1 1871 KachelY 1115 -0.27151460 1.10155823 -15.556641 63.114637
    Unten links KachelX 1870 KachelY + 1 1116 -0.27304858 1.10086408 -15.644531 63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 1871 KachelY + 1 1116 -0.27151460 1.10086408 -15.556641 63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10155823-1.10086408) × R
    0.000694149999999949 × 6371000     		dl = 4422.42964999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10155823-1.10086408) × R
    0.000694149999999949 × 6371000     		dr = 4422.42964999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27304858--0.27151460) × cos(1.10155823) × R
    0.00153397999999999 × 0.452206865259001 × 6371000     		do = 4419.41162556005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27304858--0.27151460) × cos(1.10086408) × R
    0.00153397999999999 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 4425.4612261372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10155823)-sin(1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452206865259001-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.27151460--0.27304858)×0.000619012471533675×R²
    0.00153397999999999×0.000619012471533675×6371000²
    0.00153397999999999×0.000619012471533675×40589641000000     		ar = 19557914.7602385m²