Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18699 / 19444
↖ ↑ ↗
← S 31.840232°
E 25.433350°		 ← 1 037.81 m → S 31.840232°
E 25.444336°		 →
↑
1 037.77 m
↓
↑
1 037.77 m
↓
S 31.849565°
E 25.433350°		 ← 1 037.70 m →
1 076 956 m²		 S 31.849565°
E 25.444336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570663452148438 y=0.593399047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570663452148438 × 215)
    floor (0.570663452148438 × 32768)
    floor (18699.5)     		tx = 18699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593399047851562 × 215)
    floor (0.593399047851562 × 32768)
    floor (19444.5)     		ty = 19444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18699 / 19444 ti = "15/18699/19444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18699/19444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18699 ÷ 215
    18699 ÷ 32768     		x = 0.570648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19444 ÷ 215
    19444 ÷ 32768     		y = 0.5933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570648193359375 × 2 - 1) × π
    0.14129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44389569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586747651349487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44389569} λ = 0.44389569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586747651349487))-π/2
    2×atan(0.55613308528567)-π/2
    2×0.507539716076533-π/2
    1.01507943215307-1.57079632675     		φ = -0.55571689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44389569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.433350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55571689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.840232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18699 KachelY 19444 0.44389569 -0.55571689 25.433350 -31.840232
    Oben rechts KachelX + 1 18700 KachelY 19444 0.44408744 -0.55571689 25.444336 -31.840232
    Unten links KachelX 18699 KachelY + 1 19445 0.44389569 -0.55587978 25.433350 -31.849565
    Unten rechts KachelX + 1 18700 KachelY + 1 19445 0.44408744 -0.55587978 25.444336 -31.849565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55571689--0.55587978) × R
    0.000162890000000027 × 6371000     		dl = 1037.77219000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55571689--0.55587978) × R
    0.000162890000000027 × 6371000     		dr = 1037.77219000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44389569-0.44408744) × cos(-0.55571689) × R
    0.000191749999999991 × 0.849522461524508 × 6371000     		do = 1037.8099827549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44389569-0.44408744) × cos(-0.55587978) × R
    0.000191749999999991 × 0.849436517236074 × 6371000     		du = 1037.70498983884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55571689)-sin(-0.55587978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849522461524508-0.849436517236074)×R²
    abs(0.44408744-0.44389569)×8.59442884338923e-05×R²
    0.000191749999999991×8.59442884338923e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.59442884338923e-05×40589641000000     		ar = 1076955.86162497m²