Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18693 / 13670
↖ ↑ ↗
← N 28.555576°
E 25.367431°		 ← 1 073.03 m → N 28.555576°
E 25.378418°		 →
↑
1 073.07 m
↓
↑
1 073.07 m
↓
N 28.545926°
E 25.367431°		 ← 1 073.13 m →
1 151 488 m²		 N 28.545926°
E 25.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570480346679688 y=0.417190551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570480346679688 × 215)
    floor (0.570480346679688 × 32768)
    floor (18693.5)     		tx = 18693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417190551757812 × 215)
    floor (0.417190551757812 × 32768)
    floor (13670.5)     		ty = 13670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18693 / 13670 ti = "15/18693/13670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18693/13670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18693 ÷ 215
    18693 ÷ 32768     		x = 0.570465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13670 ÷ 215
    13670 ÷ 32768     		y = 0.41717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570465087890625 × 2 - 1) × π
    0.14093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44274520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41717529296875 × 2 - 1) × π
    0.1656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52040298227533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44274520} λ = 0.44274520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52040298227533))-π/2
    2×atan(1.68270561362288)-π/2
    2×1.03459257432188-π/2
    2.06918514864376-1.57079632675     		φ = 0.49838882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44274520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.367431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49838882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.555576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18693 KachelY 13670 0.44274520 0.49838882 25.367431 28.555576
    Oben rechts KachelX + 1 18694 KachelY 13670 0.44293695 0.49838882 25.378418 28.555576
    Unten links KachelX 18693 KachelY + 1 13671 0.44274520 0.49822039 25.367431 28.545926
    Unten rechts KachelX + 1 18694 KachelY + 1 13671 0.44293695 0.49822039 25.378418 28.545926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49838882-0.49822039) × R
    0.000168429999999997 × 6371000     		dl = 1073.06752999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49838882-0.49822039) × R
    0.000168429999999997 × 6371000     		dr = 1073.06752999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44274520-0.44293695) × cos(0.49838882) × R
    0.000191749999999991 × 0.878353863336989 × 6371000     		do = 1073.03155484155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44274520-0.44293695) × cos(0.49822039) × R
    0.000191749999999991 × 0.878434362266007 × 6371000     		du = 1073.12989549282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49838882)-sin(0.49822039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878353863336989-0.878434362266007)×R²
    abs(0.44293695-0.44274520)×8.04989290182911e-05×R²
    0.000191749999999991×8.04989290182911e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.04989290182911e-05×40589641000000     		ar = 1151488.08596774m²