Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18693 / 13441
↖ ↑ ↗
← N 30.741836°
E 25.367431°		 ← 1 049.97 m → N 30.741836°
E 25.378418°		 →
↑
1 050 m
↓
↑
1 050 m
↓
N 30.732393°
E 25.367431°		 ← 1 050.08 m →
1 102 531 m²		 N 30.732393°
E 25.378418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570480346679688 y=0.410202026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570480346679688 × 215)
    floor (0.570480346679688 × 32768)
    floor (18693.5)     		tx = 18693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.410202026367188 × 215)
    floor (0.410202026367188 × 32768)
    floor (13441.5)     		ty = 13441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18693 / 13441 ti = "15/18693/13441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18693/13441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18693 ÷ 215
    18693 ÷ 32768     		x = 0.570465087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13441 ÷ 215
    13441 ÷ 32768     		y = 0.410186767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570465087890625 × 2 - 1) × π
    0.14093017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44274520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.410186767578125 × 2 - 1) × π
    0.17962646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.564313182327301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44274520} λ = 0.44274520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.564313182327301))-π/2
    2×atan(1.75823977777751)-π/2
    2×1.0536712890827-π/2
    2.10734257816541-1.57079632675     		φ = 0.53654625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44274520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.367431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53654625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.741836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18693 KachelY 13441 0.44274520 0.53654625 25.367431 30.741836
    Oben rechts KachelX + 1 18694 KachelY 13441 0.44293695 0.53654625 25.378418 30.741836
    Unten links KachelX 18693 KachelY + 1 13442 0.44274520 0.53638144 25.367431 30.732393
    Unten rechts KachelX + 1 18694 KachelY + 1 13442 0.44293695 0.53638144 25.378418 30.732393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53654625-0.53638144) × R
    0.000164810000000015 × 6371000     		dl = 1050.0045100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53654625-0.53638144) × R
    0.000164810000000015 × 6371000     		dr = 1050.0045100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44274520-0.44293695) × cos(0.53654625) × R
    0.000191749999999991 × 0.859479259478455 × 6371000     		do = 1049.97359793976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44274520-0.44293695) × cos(0.53638144) × R
    0.000191749999999991 × 0.859563493835188 × 6371000     		du = 1050.07650193615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53654625)-sin(0.53638144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859479259478455-0.859563493835188)×R²
    abs(0.44293695-0.44274520)×8.42343567323267e-05×R²
    0.000191749999999991×8.42343567323267e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.42343567323267e-05×40589641000000     		ar = 1102531.04054348m²