Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18692 / 13680
↖ ↑ ↗
← N 28.459033°
E 25.356445°		 ← 1 073.96 m → N 28.459033°
E 25.367431°		 →
↑
1 074.09 m
↓
↑
1 074.09 m
↓
N 28.449374°
E 25.356445°		 ← 1 074.06 m →
1 153 577 m²		 N 28.449374°
E 25.367431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570449829101562 y=0.417495727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570449829101562 × 215)
    floor (0.570449829101562 × 32768)
    floor (18692.5)     		tx = 18692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417495727539062 × 215)
    floor (0.417495727539062 × 32768)
    floor (13680.5)     		ty = 13680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18692 / 13680 ti = "15/18692/13680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18692/13680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18692 ÷ 215
    18692 ÷ 32768     		x = 0.5704345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13680 ÷ 215
    13680 ÷ 32768     		y = 0.41748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5704345703125 × 2 - 1) × π
    0.140869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44255346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44255346} λ = 0.44255346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.518485506290527))-π/2
    2×atan(1.6794821574568)-π/2
    2×1.03375007745495-π/2
    2.06750015490991-1.57079632675     		φ = 0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44255346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.356445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18692 KachelY 13680 0.44255346 0.49670383 25.356445 28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 18693 KachelY 13680 0.44274520 0.49670383 25.367431 28.459033
    Unten links KachelX 18692 KachelY + 1 13681 0.44255346 0.49653524 25.356445 28.449374
    Unten rechts KachelX + 1 18693 KachelY + 1 13681 0.44274520 0.49653524 25.367431 28.449374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49670383-0.49653524) × R
    0.000168590000000024 × 6371000     		dl = 1074.08689000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49670383-0.49653524) × R
    0.000168590000000024 × 6371000     		dr = 1074.08689000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44255346-0.44274520) × cos(0.49670383) × R
    0.000191739999999996 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 1073.95798159545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44255346-0.44274520) × cos(0.49653524) × R
    0.000191739999999996 × 0.879238385504252 × 6371000     		du = 1074.05610556106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49670383)-sin(0.49653524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.879238385504252)×R²
    abs(0.44274520-0.44255346)×8.03257452333117e-05×R²
    0.000191739999999996×8.03257452333117e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.03257452333117e-05×40589641000000     		ar = 1153576.88800757m²