Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18691 / 13683
↖ ↑ ↗
← N 28.430053°
E 25.345459°		 ← 1 074.31 m → N 28.430053°
E 25.356445°		 →
↑
1 074.34 m
↓
↑
1 074.34 m
↓
N 28.420391°
E 25.345459°		 ← 1 074.41 m →
1 154 227 m²		 N 28.420391°
E 25.356445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570419311523438 y=0.417587280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570419311523438 × 215)
    floor (0.570419311523438 × 32768)
    floor (18691.5)     		tx = 18691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417587280273438 × 215)
    floor (0.417587280273438 × 32768)
    floor (13683.5)     		ty = 13683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18691 / 13683 ti = "15/18691/13683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18691/13683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18691 ÷ 215
    18691 ÷ 32768     		x = 0.570404052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13683 ÷ 215
    13683 ÷ 32768     		y = 0.417572021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570404052734375 × 2 - 1) × π
    0.14080810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44236171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417572021484375 × 2 - 1) × π
    0.16485595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.517910263495087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44236171} λ = 0.44236171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517910263495087))-π/2
    2×atan(1.67851632526629)-π/2
    2×1.03349717813464-π/2
    2.06699435626927-1.57079632675     		φ = 0.49619803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44236171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49619803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.430053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18691 KachelY 13683 0.44236171 0.49619803 25.345459 28.430053
    Oben rechts KachelX + 1 18692 KachelY 13683 0.44255346 0.49619803 25.356445 28.430053
    Unten links KachelX 18691 KachelY + 1 13684 0.44236171 0.49602940 25.345459 28.420391
    Unten rechts KachelX + 1 18692 KachelY + 1 13684 0.44255346 0.49602940 25.356445 28.420391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49619803-0.49602940) × R
    0.000168630000000003 × 6371000     		dl = 1074.34173000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49619803-0.49602940) × R
    0.000168630000000003 × 6371000     		dr = 1074.34173000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44236171-0.44255346) × cos(0.49619803) × R
    0.000191749999999991 × 0.879398976304311 × 6371000     		do = 1074.30830586311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44236171-0.44255346) × cos(0.49602940) × R
    0.000191749999999991 × 0.879479246105049 × 6371000     		du = 1074.40636660229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49619803)-sin(0.49602940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879398976304311-0.879479246105049)×R²
    abs(0.44255346-0.44236171)×8.02698007380531e-05×R²
    0.000191749999999991×8.02698007380531e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.02698007380531e-05×40589641000000     		ar = 1154226.92198133m²