Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18690 / 13655
↖ ↑ ↗
← N 28.700225°
E 25.334473°		 ← 1 071.55 m → N 28.700225°
E 25.345459°		 →
↑
1 071.60 m
↓
↑
1 071.60 m
↓
N 28.690588°
E 25.334473°		 ← 1 071.65 m →
1 148 332 m²		 N 28.690588°
E 25.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18690 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570388793945312 y=0.416732788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570388793945312 × 215)
    floor (0.570388793945312 × 32768)
    floor (18690.5)     		tx = 18690
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416732788085938 × 215)
    floor (0.416732788085938 × 32768)
    floor (13655.5)     		ty = 13655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18690 / 13655 ti = "15/18690/13655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18690/13655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18690 ÷ 215
    18690 ÷ 32768     		x = 0.57037353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13655 ÷ 215
    13655 ÷ 32768     		y = 0.416717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57037353515625 × 2 - 1) × π
    0.1407470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44216996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416717529296875 × 2 - 1) × π
    0.16656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523279196252533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44216996} λ = 0.44216996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523279196252533))-π/2
    2×atan(1.68755240188708)-π/2
    2×1.03585487186646-π/2
    2.07170974373291-1.57079632675     		φ = 0.50091342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44216996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50091342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.700225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18690 KachelY 13655 0.44216996 0.50091342 25.334473 28.700225
    Oben rechts KachelX + 1 18691 KachelY 13655 0.44236171 0.50091342 25.345459 28.700225
    Unten links KachelX 18690 KachelY + 1 13656 0.44216996 0.50074522 25.334473 28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 18691 KachelY + 1 13656 0.44236171 0.50074522 25.345459 28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50091342-0.50074522) × R
    0.000168200000000063 × 6371000     		dl = 1071.6022000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50091342-0.50074522) × R
    0.000168200000000063 × 6371000     		dr = 1071.6022000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44216996-0.44236171) × cos(0.50091342) × R
    0.000191750000000046 × 0.877144278976417 × 6371000     		do = 1071.5538791108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44216996-0.44236171) × cos(0.50074522) × R
    0.000191750000000046 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 1071.65254085059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50091342)-sin(0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877144278976417-0.877225040739587)×R²
    abs(0.44236171-0.44216996)×8.07617631700674e-05×R²
    0.000191750000000046×8.07617631700674e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.07617631700674e-05×40589641000000     		ar = 1148332.36005029m²