Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1869 / 943
↖ ↑ ↗
← N 69.193800°
W 15.732422°		 ← 3 471.44 m → N 69.193800°
W 15.644531°		 →
↑
3 473.98 m
↓
↑
3 473.98 m
↓
N 69.162558°
W 15.732422°		 ← 3 476.43 m →
12 068 376 m²		 N 69.162558°
W 15.644531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4564208984375 y=0.2303466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4564208984375 × 212)
    floor (0.4564208984375 × 4096)
    floor (1869.5)     		tx = 1869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2303466796875 × 212)
    floor (0.2303466796875 × 4096)
    floor (943.5)     		ty = 943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1869 / 943 ti = "12/1869/943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1869/943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1869 ÷ 212
    1869 ÷ 4096     		x = 0.456298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 943 ÷ 212
    943 ÷ 4096     		y = 0.230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456298828125 × 2 - 1) × π
    -0.08740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27458256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230224609375 × 2 - 1) × π
    0.53955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27458256} λ = -0.27458256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69504877056519))-π/2
    2×atan(5.4469116076926)-π/2
    2×1.38922797731798-π/2
    2.77845595463597-1.57079632675     		φ = 1.20765963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27458256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.732422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20765963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.193800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1869 KachelY 943 -0.27458256 1.20765963 -15.732422 69.193800
    Oben rechts KachelX + 1 1870 KachelY 943 -0.27304858 1.20765963 -15.644531 69.193800
    Unten links KachelX 1869 KachelY + 1 944 -0.27458256 1.20711435 -15.732422 69.162558
    Unten rechts KachelX + 1 1870 KachelY + 1 944 -0.27304858 1.20711435 -15.644531 69.162558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20765963-1.20711435) × R
    0.000545280000000092 × 6371000     		dl = 3473.97888000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20765963-1.20711435) × R
    0.000545280000000092 × 6371000     		dr = 3473.97888000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27458256--0.27304858) × cos(1.20765963) × R
    0.00153397999999999 × 0.355208120040202 × 6371000     		do = 3471.4441902599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27458256--0.27304858) × cos(1.20711435) × R
    0.00153397999999999 × 0.355717787996262 × 6371000     		du = 3476.42516835473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20765963)-sin(1.20711435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355208120040202-0.355717787996262)×R²
    abs(-0.27304858--0.27458256)×0.000509667956060333×R²
    0.00153397999999999×0.000509667956060333×6371000²
    0.00153397999999999×0.000509667956060333×40589641000000     		ar = 12068376.0054463m²