Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1869 / 1847
↖ ↑ ↗
← S 80.844901°
E148.535156°		 ← 3 109.91 m → S 80.844901°
E148.710937°		 →
↑
3 105.23 m
↓
↑
3 105.23 m
↓
S 80.872827°
E148.535156°		 ← 3 100.51 m →
9 642 374 m²		 S 80.872827°
E148.710937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912841796875 y=0.902099609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912841796875 × 211)
    floor (0.912841796875 × 2048)
    floor (1869.5)     		tx = 1869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902099609375 × 211)
    floor (0.902099609375 × 2048)
    floor (1847.5)     		ty = 1847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1869 / 1847 ti = "11/1869/1847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1869/1847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1869 ÷ 211
    1869 ÷ 2048     		x = 0.91259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1847 ÷ 211
    1847 ÷ 2048     		y = 0.90185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    0.8251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59242753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90185546875 × 2 - 1) × π
    -0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59242753} λ = 2.59242753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5249323767876))-π/2
    2×atan(0.0800637267700641)-π/2
    2×0.07989330690377-π/2
    0.15978661380754-1.57079632675     		φ = -1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59242753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.535156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1869 KachelY 1847 2.59242753 -1.41100971 148.535156 -80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 1870 KachelY 1847 2.59549549 -1.41100971 148.710937 -80.844901
    Unten links KachelX 1869 KachelY + 1 1848 2.59242753 -1.41149711 148.535156 -80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 1870 KachelY + 1 1848 2.59549549 -1.41149711 148.710937 -80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41100971--1.41149711) × R
    0.000487399999999916 × 6371000     		dl = 3105.22539999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41100971--1.41149711) × R
    0.000487399999999916 × 6371000     		dr = 3105.22539999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59242753-2.59549549) × cos(-1.41100971) × R
    0.00306795999999965 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 3109.91180933962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59242753-2.59549549) × cos(-1.41149711) × R
    0.00306795999999965 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 3100.50609127918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41100971)-sin(-1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.15862633525071)×R²
    abs(2.59549549-2.59242753)×0.000481210016173211×R²
    0.00306795999999965×0.000481210016173211×6371000²
    0.00306795999999965×0.000481210016173211×40589641000000     		ar = 9642373.8956854m²