Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1869 / 1361
↖ ↑ ↗
← N 76.005471°
W 97.866211°		 ← 1 181.70 m → N 76.005471°
W 97.822266°		 →
↑
1 182.14 m
↓
↑
1 182.14 m
↓
N 75.994839°
W 97.866211°		 ← 1 182.58 m →
1 397 450 m²		 N 75.994839°
W 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.22821044921875 y=0.16619873046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.22821044921875 × 213)
    floor (0.22821044921875 × 8192)
    floor (1869.5)     		tx = 1869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16619873046875 × 213)
    floor (0.16619873046875 × 8192)
    floor (1361.5)     		ty = 1361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1869 / 1361 ti = "13/1869/1361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1869/1361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1869 ÷ 213
    1869 ÷ 8192     		x = 0.2281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1361 ÷ 213
    1361 ÷ 8192     		y = 0.1661376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2281494140625 × 2 - 1) × π
    -0.543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.70808761
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1661376953125 × 2 - 1) × π
    0.667724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09771872737366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70808761} λ = -1.70808761}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09771872737366))-π/2
    2×atan(8.14756188574515)-π/2
    2×1.44867101700675-π/2
    2.8973420340135-1.57079632675     		φ = 1.32654571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70808761} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.866211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32654571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.005471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1869 KachelY 1361 -1.70808761 1.32654571 -97.866211 76.005471
    Oben rechts KachelX + 1 1870 KachelY 1361 -1.70732062 1.32654571 -97.822266 76.005471
    Unten links KachelX 1869 KachelY + 1 1362 -1.70808761 1.32636016 -97.866211 75.994839
    Unten rechts KachelX + 1 1870 KachelY + 1 1362 -1.70732062 1.32636016 -97.822266 75.994839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32654571-1.32636016) × R
    0.00018555000000009 × 6371000     		dl = 1182.13905000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32654571-1.32636016) × R
    0.00018555000000009 × 6371000     		dr = 1182.13905000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70808761--1.70732062) × cos(1.32654571) × R
    0.000766990000000023 × 0.241829252131835 × 6371000     		do = 1181.69701786796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70808761--1.70732062) × cos(1.32636016) × R
    0.000766990000000023 × 0.242009290624942 × 6371000     		du = 1182.57677475647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32654571)-sin(1.32636016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241829252131835-0.242009290624942)×R²
    abs(-1.70732062--1.70808761)×0.000180038493107326×R²
    0.000766990000000023×0.000180038493107326×6371000²
    0.000766990000000023×0.000180038493107326×40589641000000     		ar = 1397450.19158632m²