Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18688 / 13656
↖ ↑ ↗
← N 28.690588°
E 25.312500°		 ← 1 071.60 m → N 28.690588°
E 25.323486°		 →
↑
1 071.67 m
↓
↑
1 071.67 m
↓
N 28.680950°
E 25.312500°		 ← 1 071.70 m →
1 148 446 m²		 N 28.680950°
E 25.323486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570327758789062 y=0.416763305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570327758789062 × 215)
    floor (0.570327758789062 × 32768)
    floor (18688.5)     		tx = 18688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416763305664062 × 215)
    floor (0.416763305664062 × 32768)
    floor (13656.5)     		ty = 13656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18688 / 13656 ti = "15/18688/13656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18688/13656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18688 ÷ 215
    18688 ÷ 32768     		x = 0.5703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13656 ÷ 215
    13656 ÷ 32768     		y = 0.416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5703125 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44178647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416748046875 × 2 - 1) × π
    0.16650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.523087448654053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44178647} λ = 0.44178647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523087448654053))-π/2
    2×atan(1.68722884878796)-π/2
    2×1.03577077284025-π/2
    2.07154154568049-1.57079632675     		φ = 0.50074522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44178647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.312500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50074522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.690588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18688 KachelY 13656 0.44178647 0.50074522 25.312500 28.690588
    Oben rechts KachelX + 1 18689 KachelY 13656 0.44197821 0.50074522 25.323486 28.690588
    Unten links KachelX 18688 KachelY + 1 13657 0.44178647 0.50057701 25.312500 28.680950
    Unten rechts KachelX + 1 18689 KachelY + 1 13657 0.44197821 0.50057701 25.323486 28.680950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50074522-0.50057701) × R
    0.000168210000000002 × 6371000     		dl = 1071.66591000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50074522-0.50057701) × R
    0.000168210000000002 × 6371000     		dr = 1071.66591000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44178647-0.44197821) × cos(0.50074522) × R
    0.000191739999999996 × 0.877225040739587 × 6371000     		do = 1071.59665284296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44178647-0.44197821) × cos(0.50057701) × R
    0.000191739999999996 × 0.877305782484291 × 6371000     		du = 1071.69528498335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50074522)-sin(0.50057701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877225040739587-0.877305782484291)×R²
    abs(0.44197821-0.44178647)×8.07417447042935e-05×R²
    0.000191739999999996×8.07417447042935e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.07417447042935e-05×40589641000000     		ar = 1148446.45518075m²