Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18687 / 13684
↖ ↑ ↗
← N 28.420391°
E 25.301514°		 ← 1 074.41 m → N 28.420391°
E 25.312500°		 →
↑
1 074.47 m
↓
↑
1 074.47 m
↓
N 28.410728°
E 25.301514°		 ← 1 074.50 m →
1 154 469 m²		 N 28.410728°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570297241210938 y=0.417617797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570297241210938 × 215)
    floor (0.570297241210938 × 32768)
    floor (18687.5)     		tx = 18687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417617797851562 × 215)
    floor (0.417617797851562 × 32768)
    floor (13684.5)     		ty = 13684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18687 / 13684 ti = "15/18687/13684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18687/13684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18687 ÷ 215
    18687 ÷ 32768     		x = 0.570281982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13684 ÷ 215
    13684 ÷ 32768     		y = 0.4176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570281982421875 × 2 - 1) × π
    0.14056396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44159472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    0.164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44159472} λ = 0.44159472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.517718515896606))-π/2
    2×atan(1.67819450464706)-π/2
    2×1.03341286296567-π/2
    2.06682572593134-1.57079632675     		φ = 0.49602940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44159472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.301514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49602940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.420391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18687 KachelY 13684 0.44159472 0.49602940 25.301514 28.420391
    Oben rechts KachelX + 1 18688 KachelY 13684 0.44178647 0.49602940 25.312500 28.420391
    Unten links KachelX 18687 KachelY + 1 13685 0.44159472 0.49586075 25.301514 28.410728
    Unten rechts KachelX + 1 18688 KachelY + 1 13685 0.44178647 0.49586075 25.312500 28.410728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49602940-0.49586075) × R
    0.000168649999999992 × 6371000     		dl = 1074.46914999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49602940-0.49586075) × R
    0.000168649999999992 × 6371000     		dr = 1074.46914999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44159472-0.44178647) × cos(0.49602940) × R
    0.000191749999999991 × 0.879479246105049 × 6371000     		do = 1074.40636660229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44159472-0.44178647) × cos(0.49586075) × R
    0.000191749999999991 × 0.879559500412626 × 6371000     		du = 1074.5044084144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49602940)-sin(0.49586075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879479246105049-0.879559500412626)×R²
    abs(0.44178647-0.44159472)×8.02543075768547e-05×R²
    0.000191749999999991×8.02543075768547e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.02543075768547e-05×40589641000000     		ar = 1154469.16966558m²