Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18686 / 13701
↖ ↑ ↗
← N 28.256006°
E 25.290527°		 ← 1 076.07 m → N 28.256006°
E 25.301514°		 →
↑
1 076.13 m
↓
↑
1 076.13 m
↓
N 28.246328°
E 25.290527°		 ← 1 076.17 m →
1 158 039 m²		 N 28.246328°
E 25.301514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570266723632812 y=0.418136596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570266723632812 × 215)
    floor (0.570266723632812 × 32768)
    floor (18686.5)     		tx = 18686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418136596679688 × 215)
    floor (0.418136596679688 × 32768)
    floor (13701.5)     		ty = 13701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18686 / 13701 ti = "15/18686/13701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18686/13701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18686 ÷ 215
    18686 ÷ 32768     		x = 0.57025146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13701 ÷ 215
    13701 ÷ 32768     		y = 0.418121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57025146484375 × 2 - 1) × π
    0.1405029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44140297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    0.16375732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.514458806722443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44140297} λ = 0.44140297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.514458806722443))-π/2
    2×atan(1.67273298494321)-π/2
    2×1.03197832915496-π/2
    2.06395665830991-1.57079632675     		φ = 0.49316033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44140297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.290527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49316033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.256006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18686 KachelY 13701 0.44140297 0.49316033 25.290527 28.256006
    Oben rechts KachelX + 1 18687 KachelY 13701 0.44159472 0.49316033 25.301514 28.256006
    Unten links KachelX 18686 KachelY + 1 13702 0.44140297 0.49299142 25.290527 28.246328
    Unten rechts KachelX + 1 18687 KachelY + 1 13702 0.44159472 0.49299142 25.301514 28.246328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49316033-0.49299142) × R
    0.000168909999999967 × 6371000     		dl = 1076.12560999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49316033-0.49299142) × R
    0.000168909999999967 × 6371000     		dr = 1076.12560999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44140297-0.44159472) × cos(0.49316033) × R
    0.000191749999999991 × 0.880841121744818 × 6371000     		do = 1076.07008733745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44140297-0.44159472) × cos(0.49299142) × R
    0.000191749999999991 × 0.880921073199276 × 6371000     		du = 1076.16775917231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49316033)-sin(0.49299142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880841121744818-0.880921073199276)×R²
    abs(0.44159472-0.44140297)×7.99514544576052e-05×R²
    0.000191749999999991×7.99514544576052e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.99514544576052e-05×40589641000000     		ar = 1158039.13547348m²