Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18685 / 13674
↖ ↑ ↗
← N 28.516969°
E 25.279541°		 ← 1 073.42 m → N 28.516969°
E 25.290527°		 →
↑
1 073.45 m
↓
↑
1 073.45 m
↓
N 28.507316°
E 25.279541°		 ← 1 073.52 m →
1 152 320 m²		 N 28.507316°
E 25.290527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570236206054688 y=0.417312622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570236206054688 × 215)
    floor (0.570236206054688 × 32768)
    floor (18685.5)     		tx = 18685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417312622070312 × 215)
    floor (0.417312622070312 × 32768)
    floor (13674.5)     		ty = 13674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18685 / 13674 ti = "15/18685/13674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18685/13674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18685 ÷ 215
    18685 ÷ 32768     		x = 0.570220947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13674 ÷ 215
    13674 ÷ 32768     		y = 0.41729736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570220947265625 × 2 - 1) × π
    0.14044189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.44121122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41729736328125 × 2 - 1) × π
    0.1654052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.519635991881409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44121122} λ = 0.44121122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.519635991881409))-π/2
    2×atan(1.68141548940112)-π/2
    2×1.03425566810372-π/2
    2.06851133620745-1.57079632675     		φ = 0.49771501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44121122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.279541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49771501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.516969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18685 KachelY 13674 0.44121122 0.49771501 25.279541 28.516969
    Oben rechts KachelX + 1 18686 KachelY 13674 0.44140297 0.49771501 25.290527 28.516969
    Unten links KachelX 18685 KachelY + 1 13675 0.44121122 0.49754652 25.279541 28.507316
    Unten rechts KachelX + 1 18686 KachelY + 1 13675 0.44140297 0.49754652 25.290527 28.507316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49771501-0.49754652) × R
    0.000168490000000021 × 6371000     		dl = 1073.44979000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49771501-0.49754652) × R
    0.000168490000000021 × 6371000     		dr = 1073.44979000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44121122-0.44140297) × cos(0.49771501) × R
    0.000191749999999991 × 0.878675752491587 × 6371000     		do = 1073.42478726695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44121122-0.44140297) × cos(0.49754652) × R
    0.000191749999999991 × 0.87875618034981 × 6371000     		du = 1073.52304109535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49771501)-sin(0.49754652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878675752491587-0.87875618034981)×R²
    abs(0.44140297-0.44121122)×8.04278582228202e-05×R²
    0.000191749999999991×8.04278582228202e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.04278582228202e-05×40589641000000     		ar = 1152320.3504747m²