Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18681 / 13635
↖ ↑ ↗
← N 28.892779°
E 25.235595°		 ← 1 069.58 m → N 28.892779°
E 25.246582°		 →
↑
1 069.63 m
↓
↑
1 069.63 m
↓
N 28.883159°
E 25.235595°		 ← 1 069.68 m →
1 144 101 m²		 N 28.883159°
E 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570114135742188 y=0.416122436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570114135742188 × 215)
    floor (0.570114135742188 × 32768)
    floor (18681.5)     		tx = 18681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416122436523438 × 215)
    floor (0.416122436523438 × 32768)
    floor (13635.5)     		ty = 13635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18681 / 13635 ti = "15/18681/13635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18681/13635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18681 ÷ 215
    18681 ÷ 32768     		x = 0.570098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13635 ÷ 215
    13635 ÷ 32768     		y = 0.416107177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570098876953125 × 2 - 1) × π
    0.14019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44044423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416107177734375 × 2 - 1) × π
    0.16778564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.527114148222137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44044423} λ = 0.44044423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527114148222137))-π/2
    2×atan(1.69403650946834)-π/2
    2×1.03753522400909-π/2
    2.07507044801818-1.57079632675     		φ = 0.50427412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44044423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.235595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50427412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.892779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18681 KachelY 13635 0.44044423 0.50427412 25.235595 28.892779
    Oben rechts KachelX + 1 18682 KachelY 13635 0.44063598 0.50427412 25.246582 28.892779
    Unten links KachelX 18681 KachelY + 1 13636 0.44044423 0.50410623 25.235595 28.883159
    Unten rechts KachelX + 1 18682 KachelY + 1 13636 0.44063598 0.50410623 25.246582 28.883159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50427412-0.50410623) × R
    0.000167890000000059 × 6371000     		dl = 1069.62719000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50427412-0.50410623) × R
    0.000167890000000059 × 6371000     		dr = 1069.62719000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44044423-0.44063598) × cos(0.50427412) × R
    0.000191749999999991 × 0.875525429974662 × 6371000     		do = 1069.57622963012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44044423-0.44063598) × cos(0.50410623) × R
    0.000191749999999991 × 0.87560653738905 × 6371000     		du = 1069.675313631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50427412)-sin(0.50410623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875525429974662-0.87560653738905)×R²
    abs(0.44063598-0.44044423)×8.11074143877155e-05×R²
    0.000191749999999991×8.11074143877155e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.11074143877155e-05×40589641000000     		ar = 1144100.81114849m²