Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18681 / 13631
↖ ↑ ↗
← N 28.931247°
E 25.235595°		 ← 1 069.18 m → N 28.931247°
E 25.246582°		 →
↑
1 069.24 m
↓
↑
1 069.24 m
↓
N 28.921631°
E 25.235595°		 ← 1 069.28 m →
1 143 268 m²		 N 28.921631°
E 25.246582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570114135742188 y=0.416000366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570114135742188 × 215)
    floor (0.570114135742188 × 32768)
    floor (18681.5)     		tx = 18681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416000366210938 × 215)
    floor (0.416000366210938 × 32768)
    floor (13631.5)     		ty = 13631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18681 / 13631 ti = "15/18681/13631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18681/13631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18681 ÷ 215
    18681 ÷ 32768     		x = 0.570098876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13631 ÷ 215
    13631 ÷ 32768     		y = 0.415985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570098876953125 × 2 - 1) × π
    0.14019775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.44044423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415985107421875 × 2 - 1) × π
    0.16802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.527881138616058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44044423} λ = 0.44044423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527881138616058))-π/2
    2×atan(1.69533631760451)-π/2
    2×1.03787092157421-π/2
    2.07574184314842-1.57079632675     		φ = 0.50494552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44044423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.235595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50494552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.931247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18681 KachelY 13631 0.44044423 0.50494552 25.235595 28.931247
    Oben rechts KachelX + 1 18682 KachelY 13631 0.44063598 0.50494552 25.246582 28.931247
    Unten links KachelX 18681 KachelY + 1 13632 0.44044423 0.50477769 25.235595 28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 18682 KachelY + 1 13632 0.44063598 0.50477769 25.246582 28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50494552-0.50477769) × R
    0.000167830000000091 × 6371000     		dl = 1069.24493000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50494552-0.50477769) × R
    0.000167830000000091 × 6371000     		dr = 1069.24493000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44044423-0.44063598) × cos(0.50494552) × R
    0.000191749999999991 × 0.875200830956747 × 6371000     		do = 1069.17968672932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44044423-0.44063598) × cos(0.50477769) × R
    0.000191749999999991 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 1069.2788558295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50494552)-sin(0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875200830956747-0.875282008031053)×R²
    abs(0.44063598-0.44044423)×8.11770743055495e-05×R²
    0.000191749999999991×8.11770743055495e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.11770743055495e-05×40589641000000     		ar = 1143267.98000736m²