Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18680 / 13672
↖ ↑ ↗
← N 28.536275°
E 25.224610°		 ← 1 073.17 m → N 28.536275°
E 25.235595°		 →
↑
1 073.26 m
↓
↑
1 073.26 m
↓
N 28.526623°
E 25.224610°		 ← 1 073.27 m →
1 151 844 m²		 N 28.526623°
E 25.235595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570083618164062 y=0.417251586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570083618164062 × 215)
    floor (0.570083618164062 × 32768)
    floor (18680.5)     		tx = 18680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417251586914062 × 215)
    floor (0.417251586914062 × 32768)
    floor (13672.5)     		ty = 13672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18680 / 13672 ti = "15/18680/13672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18680/13672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18680 ÷ 215
    18680 ÷ 32768     		x = 0.570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13672 ÷ 215
    13672 ÷ 32768     		y = 0.417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570068359375 × 2 - 1) × π
    0.14013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.44025249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    0.16552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.520019487078369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44025249} λ = 0.44025249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.520019487078369))-π/2
    2×atan(1.68206042782289)-π/2
    2×1.03442413664323-π/2
    2.06884827328645-1.57079632675     		φ = 0.49805195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44025249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.224610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49805195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.536275°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18680 KachelY 13672 0.44025249 0.49805195 25.224610 28.536275
    Oben rechts KachelX + 1 18681 KachelY 13672 0.44044423 0.49805195 25.235595 28.536275
    Unten links KachelX 18680 KachelY + 1 13673 0.44025249 0.49788349 25.224610 28.526623
    Unten rechts KachelX + 1 18681 KachelY + 1 13673 0.44044423 0.49788349 25.235595 28.526623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49805195-0.49788349) × R
    0.000168460000000037 × 6371000     		dl = 1073.25866000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49805195-0.49788349) × R
    0.000168460000000037 × 6371000     		dr = 1073.25866000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44025249-0.44044423) × cos(0.49805195) × R
    0.000191739999999996 × 0.878514841052166 × 6371000     		do = 1073.17224135629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44025249-0.44044423) × cos(0.49788349) × R
    0.000191739999999996 × 0.878595304464414 × 6371000     		du = 1073.27053349256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49805195)-sin(0.49788349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878514841052166-0.878595304464414)×R²
    abs(0.44044423-0.44025249)×8.04634122476555e-05×R²
    0.000191739999999996×8.04634122476555e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.04634122476555e-05×40589641000000     		ar = 1151844.15087457m²