Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1868 / 861
↖ ↑ ↗
← N 71.608282°
W 15.820312°		 ← 3 083.49 m → N 71.608282°
W 15.732422°		 →
↑
3 085.73 m
↓
↑
3 085.73 m
↓
N 71.580532°
W 15.820312°		 ← 3 087.98 m →
9 521 758 m²		 N 71.580532°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4561767578125 y=0.2103271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4561767578125 × 212)
    floor (0.4561767578125 × 4096)
    floor (1868.5)     		tx = 1868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2103271484375 × 212)
    floor (0.2103271484375 × 4096)
    floor (861.5)     		ty = 861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1868 / 861 ti = "12/1868/861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1868/861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1868 ÷ 212
    1868 ÷ 4096     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 861 ÷ 212
    861 ÷ 4096     		y = 0.210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210205078125 × 2 - 1) × π
    0.57958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82083519516821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82083519516821))-π/2
    2×atan(6.17701530943211)-π/2
    2×1.41029831424374-π/2
    2.82059662848748-1.57079632675     		φ = 1.24980030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24980030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.608282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1868 KachelY 861 -0.27611654 1.24980030 -15.820312 71.608282
    Oben rechts KachelX + 1 1869 KachelY 861 -0.27458256 1.24980030 -15.732422 71.608282
    Unten links KachelX 1868 KachelY + 1 862 -0.27611654 1.24931596 -15.820312 71.580532
    Unten rechts KachelX + 1 1869 KachelY + 1 862 -0.27458256 1.24931596 -15.732422 71.580532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24980030-1.24931596) × R
    0.000484340000000083 × 6371000     		dl = 3085.73014000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24980030-1.24931596) × R
    0.000484340000000083 × 6371000     		dr = 3085.73014000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27458256) × cos(1.24980030) × R
    0.00153398000000005 × 0.315511868334952 × 6371000     		do = 3083.49325506831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27458256) × cos(1.24931596) × R
    0.00153398000000005 × 0.315971432012315 × 6371000     		du = 3087.98456471983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24980030)-sin(1.24931596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315511868334952-0.315971432012315)×R²
    abs(-0.27458256--0.27611654)×0.000459563677362718×R²
    0.00153398000000005×0.000459563677362718×6371000²
    0.00153398000000005×0.000459563677362718×40589641000000     		ar = 9521757.7445732m²