Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1868 / 1298
↖ ↑ ↗
← N 54.876607°
W 15.820312°		 ← 5 622.78 m → N 54.876607°
W 15.732422°		 →
↑
5 626.29 m
↓
↑
5 626.29 m
↓
N 54.826008°
W 15.820312°		 ← 5 629.84 m →
31 655 282 m²		 N 54.826008°
W 15.732422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4561767578125 y=0.3170166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4561767578125 × 212)
    floor (0.4561767578125 × 4096)
    floor (1868.5)     		tx = 1868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3170166015625 × 212)
    floor (0.3170166015625 × 4096)
    floor (1298.5)     		ty = 1298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1868 / 1298 ti = "12/1868/1298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1868/1298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1868 ÷ 212
    1868 ÷ 4096     		x = 0.4560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1298 ÷ 212
    1298 ÷ 4096     		y = 0.31689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4560546875 × 2 - 1) × π
    -0.087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27611654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31689453125 × 2 - 1) × π
    0.3662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15048559088135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27611654} λ = -0.27611654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15048559088135))-π/2
    2×atan(3.15972687177711)-π/2
    2×1.264286897606-π/2
    2.528573795212-1.57079632675     		φ = 0.95777747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27611654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.820312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95777747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.876607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1868 KachelY 1298 -0.27611654 0.95777747 -15.820312 54.876607
    Oben rechts KachelX + 1 1869 KachelY 1298 -0.27458256 0.95777747 -15.732422 54.876607
    Unten links KachelX 1868 KachelY + 1 1299 -0.27611654 0.95689436 -15.820312 54.826008
    Unten rechts KachelX + 1 1869 KachelY + 1 1299 -0.27458256 0.95689436 -15.732422 54.826008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95777747-0.95689436) × R
    0.000883109999999965 × 6371000     		dl = 5626.29380999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95777747-0.95689436) × R
    0.000883109999999965 × 6371000     		dr = 5626.29380999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27611654--0.27458256) × cos(0.95777747) × R
    0.00153398000000005 × 0.575339245919403 × 6371000     		do = 5622.78272931782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27611654--0.27458256) × cos(0.95689436) × R
    0.00153398000000005 × 0.576061330287118 × 6371000     		du = 5629.83965015312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95777747)-sin(0.95689436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575339245919403-0.576061330287118)×R²
    abs(-0.27458256--0.27611654)×0.000722084367715148×R²
    0.00153398000000005×0.000722084367715148×6371000²
    0.00153398000000005×0.000722084367715148×40589641000000     		ar = 31655281.8772296m²