Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18679 / 19176
↖ ↑ ↗
← S 29.305561°
E 25.213623°		 ← 1 065.30 m → S 29.305561°
E 25.224610°		 →
↑
1 065.23 m
↓
↑
1 065.23 m
↓
S 29.315141°
E 25.213623°		 ← 1 065.20 m →
1 134 733 m²		 S 29.315141°
E 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570053100585938 y=0.585220336914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570053100585938 × 215)
    floor (0.570053100585938 × 32768)
    floor (18679.5)     		tx = 18679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585220336914062 × 215)
    floor (0.585220336914062 × 32768)
    floor (19176.5)     		ty = 19176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18679 / 19176 ti = "15/18679/19176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18679/19176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18679 ÷ 215
    18679 ÷ 32768     		x = 0.570037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19176 ÷ 215
    19176 ÷ 32768     		y = 0.585205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570037841796875 × 2 - 1) × π
    0.14007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44006074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585205078125 × 2 - 1) × π
    -0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44006074} λ = 0.44006074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535359294956787))-π/2
    2×atan(0.585458899920836)-π/2
    2×0.529658896266334-π/2
    1.05931779253267-1.57079632675     		φ = -0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44006074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18679 KachelY 19176 0.44006074 -0.51147853 25.213623 -29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 18680 KachelY 19176 0.44025249 -0.51147853 25.224610 -29.305561
    Unten links KachelX 18679 KachelY + 1 19177 0.44006074 -0.51164573 25.213623 -29.315141
    Unten rechts KachelX + 1 18680 KachelY + 1 19177 0.44025249 -0.51164573 25.224610 -29.315141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51147853--0.51164573) × R
    0.000167200000000034 × 6371000     		dl = 1065.23120000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51147853--0.51164573) × R
    0.000167200000000034 × 6371000     		dr = 1065.23120000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44006074-0.44025249) × cos(-0.51147853) × R
    0.000191749999999991 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 1065.29602019717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44006074-0.44025249) × cos(-0.51164573) × R
    0.000191749999999991 × 0.871939918185671 × 6371000     		du = 1065.19602769735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51147853)-sin(-0.51164573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.871939918185671)×R²
    abs(0.44025249-0.44006074)×8.18510864114552e-05×R²
    0.000191749999999991×8.18510864114552e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.18510864114552e-05×40589641000000     		ar = 1134733.30302831m²