Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18679 / 13669
↖ ↑ ↗
← N 28.565226°
E 25.213623°		 ← 1 072.93 m → N 28.565226°
E 25.224610°		 →
↑
1 073 m
↓
↑
1 073 m
↓
N 28.555576°
E 25.213623°		 ← 1 073.03 m →
1 151 314 m²		 N 28.555576°
E 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570053100585938 y=0.417160034179688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570053100585938 × 215)
    floor (0.570053100585938 × 32768)
    floor (18679.5)     		tx = 18679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417160034179688 × 215)
    floor (0.417160034179688 × 32768)
    floor (13669.5)     		ty = 13669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18679 / 13669 ti = "15/18679/13669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18679/13669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18679 ÷ 215
    18679 ÷ 32768     		x = 0.570037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13669 ÷ 215
    13669 ÷ 32768     		y = 0.417144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570037841796875 × 2 - 1) × π
    0.14007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44006074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.417144775390625 × 2 - 1) × π
    0.16571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.52059472987381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44006074} λ = 0.44006074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52059472987381))-π/2
    2×atan(1.68302829931935)-π/2
    2×1.03467678158418-π/2
    2.06935356316836-1.57079632675     		φ = 0.49855724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44006074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49855724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.565226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18679 KachelY 13669 0.44006074 0.49855724 25.213623 28.565226
    Oben rechts KachelX + 1 18680 KachelY 13669 0.44025249 0.49855724 25.224610 28.565226
    Unten links KachelX 18679 KachelY + 1 13670 0.44006074 0.49838882 25.213623 28.555576
    Unten rechts KachelX + 1 18680 KachelY + 1 13670 0.44025249 0.49838882 25.224610 28.555576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49855724-0.49838882) × R
    0.000168420000000002 × 6371000     		dl = 1073.00382000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49855724-0.49838882) × R
    0.000168420000000002 × 6371000     		dr = 1073.00382000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44006074-0.44025249) × cos(0.49855724) × R
    0.000191749999999991 × 0.878273344271834 × 6371000     		do = 1072.93318959118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44006074-0.44025249) × cos(0.49838882) × R
    0.000191749999999991 × 0.878353863336989 × 6371000     		du = 1073.03155484155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49855724)-sin(0.49838882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878273344271834-0.878353863336989)×R²
    abs(0.44025249-0.44006074)×8.05190651556043e-05×R²
    0.000191749999999991×8.05190651556043e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.05190651556043e-05×40589641000000     		ar = 1151314.18690247m²