Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18679 / 13430
↖ ↑ ↗
← N 30.845648°
E 25.213623°		 ← 1 048.84 m → N 30.845648°
E 25.224610°		 →
↑
1 048.92 m
↓
↑
1 048.92 m
↓
N 30.836214°
E 25.213623°		 ← 1 048.94 m →
1 100 205 m²		 N 30.836214°
E 25.224610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570053100585938 y=0.409866333007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570053100585938 × 215)
    floor (0.570053100585938 × 32768)
    floor (18679.5)     		tx = 18679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409866333007812 × 215)
    floor (0.409866333007812 × 32768)
    floor (13430.5)     		ty = 13430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18679 / 13430 ti = "15/18679/13430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18679/13430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18679 ÷ 215
    18679 ÷ 32768     		x = 0.570037841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13430 ÷ 215
    13430 ÷ 32768     		y = 0.40985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.570037841796875 × 2 - 1) × π
    0.14007568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.44006074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40985107421875 × 2 - 1) × π
    0.1802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.566422405910583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.44006074} λ = 0.44006074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566422405910583))-π/2
    2×atan(1.76195221238284)-π/2
    2×1.05457721708624-π/2
    2.10915443417248-1.57079632675     		φ = 0.53835811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.44006074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.213623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53835811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.845648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18679 KachelY 13430 0.44006074 0.53835811 25.213623 30.845648
    Oben rechts KachelX + 1 18680 KachelY 13430 0.44025249 0.53835811 25.224610 30.845648
    Unten links KachelX 18679 KachelY + 1 13431 0.44006074 0.53819347 25.213623 30.836214
    Unten rechts KachelX + 1 18680 KachelY + 1 13431 0.44025249 0.53819347 25.224610 30.836214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53835811-0.53819347) × R
    0.000164640000000049 × 6371000     		dl = 1048.92144000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53835811-0.53819347) × R
    0.000164640000000049 × 6371000     		dr = 1048.92144000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.44006074-0.44025249) × cos(0.53835811) × R
    0.000191749999999991 × 0.85855167962142 × 6371000     		do = 1048.8404299789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.44006074-0.44025249) × cos(0.53819347) × R
    0.000191749999999991 × 0.858636083364149 × 6371000     		du = 1048.94354090386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53835811)-sin(0.53819347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85855167962142-0.858636083364149)×R²
    abs(0.44025249-0.44006074)×8.44037427292221e-05×R²
    0.000191749999999991×8.44037427292221e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.44037427292221e-05×40589641000000     		ar = 1100205.29425909m²