Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18678 / 13431
↖ ↑ ↗
← N 30.836214°
E 25.202637°		 ← 1 048.94 m → N 30.836214°
E 25.213623°		 →
↑
1 048.99 m
↓
↑
1 048.99 m
↓
N 30.826781°
E 25.202637°		 ← 1 049.05 m →
1 100 380 m²		 N 30.826781°
E 25.213623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.570022583007812 y=0.409896850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.570022583007812 × 215)
    floor (0.570022583007812 × 32768)
    floor (18678.5)     		tx = 18678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409896850585938 × 215)
    floor (0.409896850585938 × 32768)
    floor (13431.5)     		ty = 13431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18678 / 13431 ti = "15/18678/13431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18678/13431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18678 ÷ 215
    18678 ÷ 32768     		x = 0.57000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13431 ÷ 215
    13431 ÷ 32768     		y = 0.409881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57000732421875 × 2 - 1) × π
    0.1400146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.43986899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409881591796875 × 2 - 1) × π
    0.18023681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.566230658312103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43986899} λ = 0.43986899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566230658312103))-π/2
    2×atan(1.76161439466638)-π/2
    2×1.05449490042873-π/2
    2.10898980085746-1.57079632675     		φ = 0.53819347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43986899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.202637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53819347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.836214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18678 KachelY 13431 0.43986899 0.53819347 25.202637 30.836214
    Oben rechts KachelX + 1 18679 KachelY 13431 0.44006074 0.53819347 25.213623 30.836214
    Unten links KachelX 18678 KachelY + 1 13432 0.43986899 0.53802882 25.202637 30.826781
    Unten rechts KachelX + 1 18679 KachelY + 1 13432 0.44006074 0.53802882 25.213623 30.826781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53819347-0.53802882) × R
    0.000164649999999988 × 6371000     		dl = 1048.98514999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53819347-0.53802882) × R
    0.000164649999999988 × 6371000     		dr = 1048.98514999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43986899-0.44006074) × cos(0.53819347) × R
    0.000191749999999991 × 0.858636083364149 × 6371000     		do = 1048.94354090386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43986899-0.44006074) × cos(0.53802882) × R
    0.000191749999999991 × 0.858720468956848 × 6371000     		du = 1049.04662965604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53819347)-sin(0.53802882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858636083364149-0.858720468956848)×R²
    abs(0.44006074-0.43986899)×8.43855926994097e-05×R²
    0.000191749999999991×8.43855926994097e-05×6371000²
    0.000191749999999991×8.43855926994097e-05×40589641000000     		ar = 1100380.26936721m²