Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18676 / 13668
↖ ↑ ↗
← N 28.574874°
E 25.180664°		 ← 1 072.78 m → N 28.574874°
E 25.191650°		 →
↑
1 072.88 m
↓
↑
1 072.88 m
↓
N 28.565226°
E 25.180664°		 ← 1 072.88 m →
1 151 012 m²		 N 28.565226°
E 25.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569961547851562 y=0.417129516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569961547851562 × 215)
    floor (0.569961547851562 × 32768)
    floor (18676.5)     		tx = 18676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417129516601562 × 215)
    floor (0.417129516601562 × 32768)
    floor (13668.5)     		ty = 13668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18676 / 13668 ti = "15/18676/13668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18676/13668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18676 ÷ 215
    18676 ÷ 32768     		x = 0.5699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13668 ÷ 215
    13668 ÷ 32768     		y = 0.4171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5699462890625 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4171142578125 × 2 - 1) × π
    0.165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.52078647747229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43948550} λ = 0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52078647747229))-π/2
    2×atan(1.68335104689597)-π/2
    2×1.03476098112623-π/2
    2.06952196225245-1.57079632675     		φ = 0.49872564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49872564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.574874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18676 KachelY 13668 0.43948550 0.49872564 25.180664 28.574874
    Oben rechts KachelX + 1 18677 KachelY 13668 0.43967724 0.49872564 25.191650 28.574874
    Unten links KachelX 18676 KachelY + 1 13669 0.43948550 0.49855724 25.180664 28.565226
    Unten rechts KachelX + 1 18677 KachelY + 1 13669 0.43967724 0.49855724 25.191650 28.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49872564-0.49855724) × R
    0.000168400000000013 × 6371000     		dl = 1072.87640000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49872564-0.49855724) × R
    0.000168400000000013 × 6371000     		dr = 1072.87640000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43948550-0.43967724) × cos(0.49872564) × R
    0.000191740000000051 × 0.87819280986033 × 6371000     		do = 1072.77885592954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43948550-0.43967724) × cos(0.49855724) × R
    0.000191740000000051 × 0.878273344271834 × 6371000     		du = 1072.87723479676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49872564)-sin(0.49855724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87819280986033-0.878273344271834)×R²
    abs(0.43967724-0.43948550)×8.05344115032414e-05×R²
    0.000191740000000051×8.05344115032414e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.05344115032414e-05×40589641000000     		ar = 1151011.89384831m²