Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18676 / 13652
↖ ↑ ↗
← N 28.729131°
E 25.180664°		 ← 1 071.20 m → N 28.729131°
E 25.191650°		 →
↑
1 071.28 m
↓
↑
1 071.28 m
↓
N 28.719496°
E 25.180664°		 ← 1 071.30 m →
1 147 614 m²		 N 28.719496°
E 25.191650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.569961547851562 y=0.416641235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.569961547851562 × 215)
    floor (0.569961547851562 × 32768)
    floor (18676.5)     		tx = 18676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416641235351562 × 215)
    floor (0.416641235351562 × 32768)
    floor (13652.5)     		ty = 13652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18676 / 13652 ti = "15/18676/13652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18676/13652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18676 ÷ 215
    18676 ÷ 32768     		x = 0.5699462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13652 ÷ 215
    13652 ÷ 32768     		y = 0.4166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5699462890625 × 2 - 1) × π
    0.139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.43948550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4166259765625 × 2 - 1) × π
    0.166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.523854439047974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.43948550} λ = 0.43948550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.523854439047974))-π/2
    2×atan(1.68852343351089)-π/2
    2×1.03610712247635-π/2
    2.07221424495269-1.57079632675     		φ = 0.50141792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.43948550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 25.180664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50141792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.729131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18676 KachelY 13652 0.43948550 0.50141792 25.180664 28.729131
    Oben rechts KachelX + 1 18677 KachelY 13652 0.43967724 0.50141792 25.191650 28.729131
    Unten links KachelX 18676 KachelY + 1 13653 0.43948550 0.50124977 25.180664 28.719496
    Unten rechts KachelX + 1 18677 KachelY + 1 13653 0.43967724 0.50124977 25.191650 28.719496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50141792-0.50124977) × R
    0.000168149999999923 × 6371000     		dl = 1071.28364999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50141792-0.50124977) × R
    0.000168149999999923 × 6371000     		dr = 1071.28364999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.43948550-0.43967724) × cos(0.50141792) × R
    0.000191740000000051 × 0.876901892869998 × 6371000     		do = 1071.20190330998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.43948550-0.43967724) × cos(0.50124977) × R
    0.000191740000000051 × 0.876982705031963 × 6371000     		du = 1071.30062147037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50141792)-sin(0.50124977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876901892869998-0.876982705031963)×R²
    abs(0.43967724-0.43948550)×8.08121619643165e-05×R²
    0.000191740000000051×8.08121619643165e-05×6371000²
    0.000191740000000051×8.08121619643165e-05×40589641000000     		ar = 1147613.96514391m²